Bảng nguyên hàm

224

Bảng nguyên hàm: Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp, nguyên hàm của hàm số hợp…
Bảng nguyên hàm

Nguyên hàm là gì?

Hàm số \(F_{(x)}\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f_{(x)}\) trên (a;b) nếu \(F’_{(x)} = f_{(x)}\)

Ví dụ:

Hàm số \(y = x^{2}\) là nguyên hàm của hàm số \(y = 2x\) trên \(\mathbb{R}\) vì \((x^{2})’ = 2x\)

Hàm số \(y = \ln x\) là nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{1}{x}\) trên \((0,+\infty )\) vì \((\ln x)’ = \frac{1}{x}\)

Tính chất của nguyên hàm

\((\int f_{(x)}dx)’ = f_{x}\)
\(\int a.f_{(x)}dx = a.\int f_{(x)}dx\)
\(\int \left [ f_{(x)} \pm g_{(x)} \right ]dx = \int f_{(x)}dx \pm \int g_{(x)}dx\)

Bảng nguyên hàm đầy đủ của hàm số cơ bản</>

Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm số hợp

u = u(x)

Lũy thừa \(\int dx = x + C\) \(\int du = u + C\)
\(\int x^{a }dx = \frac{x^{a + 1}}{a + 1} + C\) \(\int u^{a }dx = \frac{u^{a + 1}}{a + 1} + C\)
Mũ logarit \(\int {\frac{{dx}}{x} = \ln \left| x \right| + C} \,\,\left( {x \ne 0} \right)\) \(\int {\frac{{du}}{u} = \ln \left| u \right| + C} \,\,\left( {x \ne 0} \right)\)
\(\int {{e^x}dx = {e^x} + C}\) \(\int {{e^u}dx = {e^u} + C}\)
\(\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\,\,\left( {0 < a \ne 1} \right)}\) \(\int {{a^u}du = \frac{{{a^u}}}{{\ln a}} + C\,\,\left( {0 < a \ne 1} \right)}\)
Lượng giác \(\int {\cos xdx = \sin x + C}\) \(\int {\cos udu = \sin u + C}\)
\(\int {\sin xdx = – \cos x + C}\) \(\int {\sin udu = – \cos u + C}\)
\(\int {\frac{{dx}}{{\sin x}}} = \ln \left| {\tan \frac{x}{2}} \right| + C\) \(\int {\frac{{du}}{{\sin u}}} = \ln \left| {\tan \frac{u}{2}} \right| + C\)
\(\int {\frac{{dx}}{{\cos x}}} = \ln \left| {\tan \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)} \right| + C\) \(\int {\frac{{du}}{{\cos u}}} = \ln \left| {\tan \left( {\frac{u}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)} \right| + C\)
\(\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = \tan x + C}\) \(\int {\frac{{du}}{{{{\cos }^2}u}} = \tan u + C}\)
\(\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}} = – \cot x + C}\) \(\int {\frac{{du}}{{{{\sin }^2}u}} = – \cot u + C}\)
\(\int \cot xdx = \ln \left | sinx \right | + C\) \(\int \cot udu = \ln \left | sinu \right | + C\)
\(\int \tan xdx = -\ln \left | \cos x \right | + C\) \(\int \tan udu = -\ln \left | \cos u \right | + C\)
Căn thức \(\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C\) \(\int \frac{du}{\sqrt{u}} = 2\sqrt{u} + C\)
\(\int \sqrt[n]{x}dx = \frac{n}{n+1}\sqrt[n]{x^{n+1}} + C\) \(\int \sqrt[n]{u}du = \frac{n}{n+1}\sqrt[n]{u^{n+1}} + C\)
\(\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}\pm a}} = \ln \left | x + \sqrt{x^{2}\pm a} \right | + C\) \(\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}\pm a}} = \ln \left | u + \sqrt{u^{2}\pm a} \right | + C\)
\(\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}} = \arcsin \frac{x}{a} + C\) \(\int \frac{du}{\sqrt{a^{2} – u^{2}}} = \arcsin \frac{u}{a} + C\)
\(\int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} \pm {a^2}} }}} = \sqrt {{x^2} \pm {a^2}} + C\) \(\int {\frac{{udu}}{{\sqrt {{u^2} \pm {a^2}} }}} = \sqrt {{u^2} \pm {a^2}} + C\)
\(\int {\sqrt {{x^2} \pm {a^2}} } dx = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} + {a^2}} \pm \frac{a}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} \pm {a^2}} } \right| + C\) \(\int {\sqrt {{u^2} \pm {a^2}} } du = \frac{u}{2}\sqrt {{u^2} + {a^2}} \pm \frac{a}{2}\ln \left| {u + \sqrt {{u^2} \pm {a^2}} } \right| + C\)
Phân thức hữu tỷ \(\int \frac{dx}{x^{2}} = -\frac{1}{x} + C\) \(\int \frac{du}{u^{2}} = -\frac{1}{u} + C\)
\(\int \frac{dx}{x^{n}} = \frac{-1}{(n – 1)x^{n – 1}} + C\) \(\int \frac{du}{u^{n}} = \frac{-1}{(n – 1)u^{n – 1}} + C\)
\(\int \frac{dx}{x^{2} – a^{2}} = \frac{1}{2a}\ln \left | \frac{x – a}{x + a} \right | + C\) \(\int \frac{du}{u^{2} – a^{2}} = \frac{1}{2a}\ln \left | \frac{u – a}{u + a} \right | + C\)
\(\int \frac{dx}{x^{2} + a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a} + C\) \(\int \frac{du}{u^{2} + a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan \frac{u}{a} + C\)
\(\int {\frac{{xdx}}{{{x^2} \pm {a^2}}}} = \frac{1}{2}\ln \left| {{x^2} \pm {a^2}} \right| + C\) \(\int {\frac{{udu}}{{{u^2} \pm {a^2}}}} = \frac{1}{2}\ln \left| {{u^2} \pm {a^2}} \right| + C\)

Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức về Nguyên hàm và bảng công thức nguyên hàm đầy đủ của hàm số cơ bản. Chúc các bạn thành công!

Xem thêm bảng công thức đạo hàm cơ bản: Công thức nguyên hàm

Bảng nguyên hàm
5 (100%) 1 vote

BÌNH LUẬN

Please enter your comment!
Please enter your name here