Đạo hàm lượng giác

452

Đạo hàm của hàm số lượng giác sẽ tiếp tục giới thiệu đến các em công thức đạo hàm lượng giác sin, cos, tan, cot. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em hình thành và rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm của các hàm số lượng giác.
Công thức đạo hàm lượng giác

Công thức đạo hàm lượng giác

Đạo hàm của hàm số y=sinx

Hàm số \(y=sin x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\sin x} \right)’ = \cos x.\)

Nếu \(y=sin u\) và \(u=u(x)\) thì \((sin u)’=u’. \cos u.\)

Đạo hàm của hàm số y=cosx

Hàm số \(y=\cos x\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\cos x} \right)’ =-\sin x.\)

Nếu \(y=\cos u\) và \(u=u(x)\) thì \((cos u)’=-u’. \sin u.\)

Đạo hàm của hàm số y=tanx

Hàm số \(y=\tan x\) có đạo hàm tại mọi \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\tan x} \right)’ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.\)

Nếu \(y=tan u\) và \(u=u(x)\) thì \(\left( {\tan u} \right)’ = \frac{{u’}}{{{{\cos }^2}u}}.\)

Đạo hàm của hàm số y=cotx

Hàm số \(y=\cot x\) có đạo hàm tại mọi \(x \ne k\pi ,k \in \mathbb{R}\) và \(\left( {\cot x} \right)’ = – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}.\)

Nếu \(y=\cot u\) và \(u=u(x)\) thì \(\left( {\cot x} \right)’ = – \frac{{u’}}{{{{\sin }^2}u}}\).

Ví dụ cho công thức đạo hàm lượng giác

Ví dụ 1:
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \sin \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right).\)

b) \(y = \sin \sqrt {x + 10} .\)

c) \(y = \sin \left( {\frac{1}{{x – 2}}} \right).\)

Hướng dẫn giải:
a) \(y = \sin \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)\)\(\Rightarrow y’ = \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)’.\cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)\)\(= – \cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right).\)

b) \(y = \sin \sqrt {x + 10}\)\(\Rightarrow y’ = \left( {\sqrt {x + 10} } \right)’.\cos \sqrt {x + 10}\)\(= \frac{1}{{2\sqrt {x + 10} }}.\cos \sqrt {x + 10} .\)

c) \(y = \sin \left( {\frac{1}{{x – 2}}} \right)\)\(\Rightarrow y’ = \left( {\frac{1}{{x – 2}}} \right)’.\cos \left( {\frac{1}{{x – 2}}} \right)\)\(= \frac{{ – 1}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}.\cos \left( {\frac{1}{{x – 2}}} \right).\)

Ví dụ 2:
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \cos \left( {{x^3} – x} \right).\)

b) \(y = \cos \sqrt {{x^2} – 8} .\)

c) \(y = \cos \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right).\)

Hướng dẫn giải:
a) \(y = \cos \left( {{x^3} – x} \right)\)\(\Rightarrow y’ = – \left( {{x^3} – x} \right)’.\sin \left( {{x^3} – x} \right)\)\(= – \left( {3{x^3} – 1} \right).\sin \left( {{x^3} – x} \right).\)

b) \(y = \cos \sqrt {{x^2} – 8}\)\(\Rightarrow y’ = – \left( {\sqrt {{x^2} – 8} } \right)’.\sin \sqrt {x + 10}\)\(= \frac{x}{{\sqrt {{x^2} – 8} }}.\sin \sqrt {{x^2} – 8} .\)

c) \(y = \cos \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right)\)\(\Rightarrow y’ = \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right)’.\sin \left( {\frac{1}{{x – 2}}} \right)\)\(= \frac{4}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}.\sin \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right).\)

Ví dụ 3:
Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \tan \left( {{x^5} – 5x} \right)\).

b) \(y = \tan \sqrt {{x^4} + 1}\).

Hướng dẫn giải:
a) \(y = \tan \left( {{x^5} – 5x} \right)\) \(\Rightarrow y’ = \frac{{({x^5} – 5x)’}}{{{{\cos }^2}\left( {{x^5} – 5x} \right)}} = \frac{{5{x^4} – 5}}{{{{\cos }^2}\left( {{x^5} – 5x} \right)}}\).

b) \(y = \tan \sqrt {{x^4} + 1}\)\(\Rightarrow y’ = \frac{{\left( {\sqrt {{x^4} + 1} } \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {\sqrt {{x^4} + 1} } \right)}} = \frac{{2{x^3}}}{{\sqrt {{x^4} + 1} .{{\cos }^2}\left( {\sqrt {{x^4} + 1} } \right)}}\).

Ví dụ 4:
Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \cot \left( {7{x^3} – 6x} \right)\).

b) \(y = {\cot ^4}\left( {5x + 1} \right)\).

Hướng dẫn giải:
a) \(y = \cot \left( {7{x^3} – 6x} \right)\) \(\Rightarrow y’ = \frac{{(7{x^3} – 6x)’}}{{{{\sin }^2}\left( {7{x^3} – 6x} \right)}} = – \frac{{21{x^2} – 6}}{{{{\sin }^2}\left( {7{x^3} – 6x} \right)}}\).

b) \(y = {\cot ^4}\left( {5x + 1} \right)\)\(\Rightarrow y’ = 4{\cot ^3}\left( {5x + 1} \right).\left[ {\cot \left( {5x + 1} \right)} \right]’\)

\(= 4{\cot ^3}\left( {5x + 1} \right).\left( {\frac{{ – 5}}{{{{\sin }^2}\left( {5x + 1} \right)}}} \right)\)\(= \frac{{ – 20{{\cot }^3}\left( {5x + 1} \right)}}{{{{\sin }^2}\left( {5x + 1} \right)}}\).

Xem thêm bảng công thức đạo hàm cơ bản: Bảng công thức đạo hàm

Đạo hàm lượng giác
5 (100%) 1 vote

BÌNH LUẬN

Please enter your comment!
Please enter your name here