Công thức nguyên hàm

320

Bảng công thức nguyên hàm đầy đủ các công thức nguyên hàm, mũ, logarit giúp các bạn học sinh chuẩn bị kiến thức ôn tập thật tốt cho các kỳ thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳng hoặc các kỳ thi giữa học kỳ, cuối học kỳ.
Bảng công thức nguyên hàm

Nguyên hàm và tính chất

Khái niệm nguyên hàm

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của \(\mathbb{R}.\)

Định nghĩa:

Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên K.

Hàm số \(F(x)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K nếu \(F'(x) = f(x)\) với mọi \(x \in K.\)

Định lý 1:

Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số \(G(x) = F(x)+C\) cũng là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K.

Định lý 2:

Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K thì mọi nguyên hàm của \(f(x)\) trên K đều có dạng \(F(x)+C\) với \(C\) là một hằng số tùy ý.

Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) là \(\int f(x)dx.\)

Khi đó : \(\int f(x)dx=F(x)+C,C\in \mathbb{R}.\)

Tính chất nguyên hàm

Tính chất 1: \(\int f'(x)dx=f(x)+C,C\in \mathbb{R}.\)
Tính chất 2: \(\int fk(x)dx=k\int f(x)dx\) (với k là hằng số khác 0).
Tính chất 3: \(\int {\left( {f(x) \pm g(x)} \right)dx} = \int {f(x)dx} \pm \int {g(x)dx}.\)

Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí 3:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thương gặp:

\(\int {kdx = kx + C,\,k \in \mathbb{R}}\)
\(\int {{x^\alpha }dx = \frac{1}{{1 + \alpha }}.{x^{\alpha + 1}} + C\,(\alpha \ne – 1)}\)
\(\int {\frac{{dx}}{x} = \ln \left| x \right| + C}\)
\(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt x }} = 2\sqrt x + C}\)
\(\int {{e^x}dx = {e^x} + C}\)
\(\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\,\,(0 < a \ne 1)}\)
\(\int {\cos xdx = \sin x + C}\)
\(\int {\sin xdx = – \cos x + C}\)
\(\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = \tan x + C}\)
\(\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}} = – \cot x + C}\)

Ngoài ra còn có một số công thức thường gặp khác

\(\int {{{({\rm{ax}} + b)}^k}dx = \frac{1}{a}\frac{{{{{\rm{(ax}} + b)}^{k + 1}}}}{{k + 1}}\, + C\,,(a \ne 0,\,k \ne – 1)}\)
\(\int {\frac{1}{{{\rm{ax}} + b}}dx = \frac{1}{a}\ln \left| {{\rm{ax}} + b} \right|} + C,\,a \ne 0\)
\(\int {{e^{{\rm{ax}} + b}}dx = \frac{1}{a}{e^{{\rm{ax}} + b}} + C}\)
\(\int {c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)dx = \frac{1}{a}\sin ({\rm{ax}} + b)} + C\)
\(\int {\sin ({\rm{ax}} + b)dx = – \frac{1}{a}c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)} + C\)

Các phương pháp tính nguyên hàm

Phương pháp đổi biến số

Định lí 1:

Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số \(u = u(x)\) có đạo hàm và liên tục trên K và hàm số \(y = f({\rm{u)}}\) liên tục sao cho \(f[u(x)]\) xác định trên K. Khi đó nếu \(F\) là một nguyên hàm của \(f\), tức là \(\int {f(u)du = F(u) + C}\) thì \(\int {f[u(x){\rm{]dx = F[u(x)] + C}}}.\)

Hệ quả:

Với \(u = ax + b\,(a \ne 0),\) ta có:

\(\int {f(ax + b)dx} = \frac{1}{a}F(ax + b) + C\)

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lí 2:

Nếu hai hàm số \(u=u(x)\) và \(v=v(x)\) có đạo hàm và liên tục trên K thì:

\(\int {u(x)v'(x)dx} = u(x)v(x) – \int {u'(x)v(x)dx}\)

Một số dạng thường gặp

Dạng 1: \(\int {P(x).{e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,,\,\,\int {P(x)\sin ({\rm{ax}} + b)dx\,,\,\int {P(x)c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)dx} } }\)
Cách giải: Đặt \(u = P(x)\,,\,dv = {e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,\) hoặc \(dv = \sin (ax + b)dx,\,\,dv = \cos (ax + b)dx.\)

Dạng 2: \(\int {P(x)\ln ({\rm{ax}} + b)dx}\)
Cách giải: Đặt \(u = \ln ({\rm{ax}} + b)\,,\,dv = P(x)dx.\)

Bảng công thức nguyên hàm

Bảng công thức nguyên hàm bao gồm công thức nguyên hàm lượng giác, công thức nguyên hàm mũ, công thức nguyên hàm logarit…

Bảng công thức nguyên hàm

Bảng công thức nguyên hàm từng phần

Bảng công thức nguyên hàm từng phần và cách chọn u, dv

Bảng công thức nguyên hàm từng phần

Các dạng nguyên hàm vô tỉ và các phép biến đổi lượng giác hóa

Các dạng nguyên hàm vô tỉ và các phép biến đổi lượng giác hóa

Ví dụ áp dụng công thức tính nguyên hàm

Ví dụ 1:
Tìm các nguyên hàm sau:

a) \(I = \int\limits {\left( {3x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)} \,dx\).

b) \(J = \int\limits {\left( {5{{\sin }^2}x – \sin x + 2} \right)\cos x} \,dx\).

Lời giải:

a) \(I = \int\limits {\left( {3x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)} \,dx\)

\(I = \int\limits {\left( {3{x^2} – 5x – 2} \right)} \,dx = {x^3} – \frac{{5{x^2}}}{2} – 2x + C.\)

b) \(J = \int\limits {\left( {5{{\sin }^2}x – \sin x + 2} \right)\cos x} \,dx\)

Đặt: \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\)

Khi đó: \(J = \int\limits {\left( {5{t^2} – t + 2} \right)} \,dt = \frac{{5{t^3}}}{3} – \frac{{{t^2}}}{2} + 2t + C = \frac{5}{3}{\sin ^3}x – \frac{{{{\sin }^2}x}}{2} + 2\sin x + C.\)

Ví dụ 2:

Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản, tính nguyên hàm sau:

a) \(I = \int {{x^8}}dx\)

b) \(I=\int \left ( x^2+2x \right )^2dx\)

c) \(I=\int \frac{1}{x^5}dx\)

d) \(I=\int\frac{1}{2x}dx\)

Lời giải:

a) \(I = \int {{x^8}dx = \frac{1}{9}{x^9} + C}\)

b) \(I = \int {{{\left( {{x^2} + 2x} \right)}^2}dx = \int {\left( {{x^4} + 4{x^3} + 4{x^2}} \right)dx = \frac{1}{5}{x^5} + {x^4} + \frac{4}{3}{x^3} + C} }\)

c) \(I = \int {\frac{{dx}}{{{x^5}}} = \int {{x^{ – 5}}dx = \frac{1}{{ – 5 + 1}}{x^{ – 5 + 1}} + C = } } – \frac{1}{4}{x^{ – 4}} + C\)

d) \(I = \int {\frac{{dx}}{{2x}}} = \frac{1}{2}\int {\frac{{dx}}{x} = \frac{1}{2}\ln \left| x \right| + C}\)

Ví dụ 3:

Dùng phương pháp đổi biến số tính các nguyên hàm sau:

a) \(I = \int {\sqrt {{x^{2004}} + 1} .{x^{2003}}dx}\)

b) \(I = \int {{e^{{e^x} + x}}dx}\)

c) \(I = \int {{e^{2{x^2} + \ln {\rm{x}}}}dx}\)

d) \(I = \int {\frac{x}{{\sqrt[{10}]{{x + 1}}}}} dx\)

e) \(I=\int {\frac{{\sin x.{{\cos }^3}x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx}\)

Lời giải:

a) Đặt: \(t = {x^{2004}} + 1 \Rightarrow dt = 2004{x^{2003}}dx \Rightarrow {x^{2003}}dx = \frac{1}{{2004}}dt.\)

Từ đó ta được:

\(I = \frac{1}{{2004}}\int {\sqrt t dt} = \frac{1}{{2004}}\int {{t^{\frac{1}{2}}}dt} = \frac{1}{{2004}}.\frac{2}{3}{t^{\frac{3}{2}}} + C\)

\(= \frac{1}{{3006}}\sqrt {{t^3}} + C = \frac{1}{{3006}}\sqrt {{{\left( {{x^{2004}} + 1} \right)}^3}} + C\)

b) Ta có: \({e^{{e^x} + x}} = {e^{{e^x}}}.{e^x}\)

Đặt: \({e^x} = t \Rightarrow {e^x}dx = dt\)

Từ đó ta được:

\(I = \int {{e^t}dt} = \int {{e^t}dt} = {e^t} + C = {e^{{e^x}}} + C\)

c) Ta có: \(M = \int {{e^{2{x^2}}}.{e^{\ln x}}dx = } \int {{e^{2{x^2}}}.xdx}\)

Đặt: \(2{x^2} = t \Rightarrow 4xdx = dt \Rightarrow xdx = \frac{{dt}}{4}\)

Ta được: \(M = \int {{e^t}\frac{{dt}}{4} = \frac{1}{4}{e^t} + C = \frac{1}{4}{e^{2{x^2}}}} + C.\)

d) \(I = \int {\frac{x}{{\sqrt[{10}]{{x + 1}}}}} dx\)

Đặt: \(\sqrt[{10}]{{x + 1}} = t \Rightarrow x + 1 = {t^{10}} \Rightarrow dx = 10{t^9}dt\)

Ta được:

\(\begin{array}{l} N = \int {\frac{{{t^{10}} – 1}}{t}.10{t^9}dt} = 10\int {\left( {{t^{10}} – 1} \right){t^8}dt} \\ = 10\int {\left( {{t^{18}} – {t^8}} \right)dt} = \frac{{10}}{{19}}{t^{19}} – \frac{{10}}{9}{t^9} + C \end{array}\)

\(\, = \frac{{10}}{{19}}\sqrt[{10}]{{{{\left( {x + + 1} \right)}^{19}}}} – \frac{{10}}{9}\sqrt[{10}]{{{{\left( {x + 1} \right)}^9}}} + C\)

e) Ta có:\(I = \int {\frac{{\sin x.{{\cos }^3}x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx = \frac{1}{2}\int {\frac{{2\sin x\cos x.{{\cos }^2}x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}} } dx = \frac{1}{2}\int {\frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}.\sin 2xdx}\)

Đặt: \(1 + {\cos ^2}x = t \Rightarrow \sin 2xdx = – dt\)

\(\Rightarrow S = – \frac{1}{2}\int {\frac{{t – 1}}{t}dt} = – \frac{1}{2}\int {dt + \frac{1}{2}\int {\frac{{dt}}{t}} = – \frac{1}{2}t + \frac{1}{2}\ln \left| t \right| + C}\)

Ví dụ 4:
Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần tính các nguyên hàm sau:

a) \(I = \int {x{\rm{sin2}}xdx}\)

b) \(I = \int {{x^2}{e^{2x}}dx}\)

c) \(I = \int {\left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x}dx}\)

d) \(I = \int {x{{\cos }^2}2xdx}\)

Lời giải:

a) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = \sin 2xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = – \frac{1}{2}\cos 2x \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow I = – \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{2}\int {\cos 2xdx} = – \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C\)

b) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2}\\ dv = {e^{2x}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = 2xdx\\ v = \frac{1}{2}{e^{2x}} \end{array} \right.\)\(\Rightarrow I = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} – \int {x{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} – {I_1}\)

Tính \({I_1} = \int {x{e^{2x}}dx}\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = {e^{2x}}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = \frac{1}{2}{e^{2x}} \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow {I_1} = \frac{1}{2}x{e^{2x}} – \frac{1}{2}\int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}x{e^{2x}} – \frac{1}{4}{e^{2x}} + C\)

Vậy: \(I = \frac{1}{2}{x^2}{e^{2x}} – \frac{1}{2}x{e^{2x}} + \frac{1}{4}{e^{2x}} + C = \frac{{\left( {2{x^2} – 2x + 1} \right){e^{2x}}}}{4} + C\)

c) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = 2{x^2} + x + 1\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \left( {4x + 1} \right)dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow I = \left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x} – \int {\left( {4x + 1} \right){e^x}dx}\)

Tính: \({I_1} = \int {\left( {4x + 1} \right){e^x}dx}\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = 4x + 1\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = 4dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow {I_1} = \left( {4x + 1} \right){e^x} – 4\int {{e^x}dx} = \left( {4x + 1} \right){e^x} – 4{e^x} + C = \left( {4x – 3} \right){e^x} + C\)

\(\Rightarrow I = \left( {2{x^2} + x + 1} \right){e^x} – \left( {4x – 3} \right){e^x} + C = \left( {2{x^2} – 3x + 4} \right){e^x} + C\)

d)

\(\begin{array}{l} I = \int {x{{\cos }^2}2xdx} = \int {x.\frac{{1 + \cos 4x}}{2}} dx\\ = \frac{1}{2}\int {xdx} + \int {\frac{1}{2}x\cos 4xdx} = \frac{1}{4}{x^2} + {I_1} \end{array}\)

Tính \({I_1} = \int {\frac{1}{2}x\cos 4xdx}\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \frac{1}{2}x\\ dv = \cos 4xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{1}{2}dx\\ v = \frac{1}{4}\sin 4x \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow {I_1} = \frac{1}{8}x\sin 4x – \frac{1}{8}\int {\sin 4xdx} = \frac{1}{8}x\sin 4x + \frac{1}{{32}}\cos 4x + C\)

Vậy: \(I = \frac{1}{4}{x^2} + \frac{1}{8}x\sin 4x + \frac{1}{{32}}\cos 4x + C\)

Trên đây là các công thức nguyên hàm, chúc các bạn thành công!

Xem thêm bảng công thức đạo hàm cơ bản: Bảng công thức đạo hàm

Công thức nguyên hàm
5 (100%) 3 votes

BÌNH LUẬN

Please enter your comment!
Please enter your name here