Góc giữa 2 mặt phẳng

216

Bài viết góc giữa 2 mặt phẳng bao gồm: cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng, tính góc giữa 2 mặt phẳng, công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng, góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian oxyz…

Định nghĩa góc giữa 2 mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Góc giữa 2 mặt phẳng

Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng

TH1: Hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng \({0^0}\).

TH2: Hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) không song song hoặc trùng nhau.

Cách 1:

+) Dựng hai đường thẳng \(n,p\) lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

+) Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(n,p\).

Góc giữa 2 mặt phẳng

Cách 2:

+) Xác định giao tuyến \(\Delta \) của hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\).

+) Tìm một mặt phẳng \(\left( R \right)\) vuông góc \(\Delta \) và cắt và hai mặt phẳng theo các giao tuyến \(a,b\).

+) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) là góc giữa \(a\) và \(b\).

Góc giữa 2 mặt phẳng

Phương pháp tính góc giữa 2 mặt phẳng

Bài toán: Cho hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ cắt nhau, tính góc giữa hai mặt phẳng $(α)$ và $(β).$

Ta áp dụng một trong các phương pháp sau đây:

Phương pháp 1
Dựng hai đường thẳng $a$, $b$ lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ là $\left( {\widehat {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)}} \right) = \left( {\widehat {a,b}} \right).$ Tính góc $\left( {\widehat {a,b}} \right).$

Phương pháp 2
+ Xác định giao tuyến $c$ của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right).$
+ Dựng hai đường thẳng $a$, $b$ lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến $c$ tại một điểm trên $c.$ Khi đó: $\left( {\widehat {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)}} \right) = \left( {\widehat {a,b}} \right).$

Góc giữa 2 mặt phẳng

Hiểu cách khác: Ta xác định mặt phẳng phụ $\left( \gamma \right)$ vuông góc với giao tuyến $c$ mà $\left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right) = a$, $\left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = b.$ Suy ra $\left( {\widehat {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)}} \right) = \left( {\widehat {a,b}} \right).$

Phương pháp 3 (trường hợp đặc biệt)

Góc giữa 2 mặt phẳng

Nếu có một đoạn thẳng nối hai điểm $A$, $B$ $\left( {A \in \left( \alpha \right), B \in \left( \beta \right)} \right)$ mà $AB \bot \left( \beta \right)$ thì qua $A$ hoặc $B$ ta dựng đường thẳng vuông góc với giao tuyến $c$ của hai mặt phẳng tại $H.$ Khi đó $\left( {\widehat {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)}} \right) = \widehat {AHB}.$

Bài tập ví dụ tính góc giữa 2 mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ cạnh đáy $ABCD$ bằng $a$ và $SA = SB = SC = SD = a.$ Tính $cosin$ góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAD} \right).$

Lời giải:
Góc giữa 2 mặt phẳng

Gọi $I$ là trung điểm $SA.$ Do tam giác $SAD$ và $SAB$ đều nên:
$\left\{ \begin{array}{l}
BI \bot SA\\
DI \bot SA
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {SAB} \right),\left( {SAD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {BI,DI}} \right).$
Áp dụng định lý $cosin$ cho tam giác $BID$ ta có:
$\cos \widehat {BID} = \frac{{I{B^2} + I{D^2} – B{D^2}}}{{2IB.ID}}$ $ = \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}a} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}a} \right)}^2} – {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}a.\frac{{\sqrt 3 }}{2}a}}$ $ = – \frac{1}{3}.$
Vậy $\cos \left( {\widehat {\left( {SAB} \right),\left( {SAD} \right)}} \right) = \frac{1}{3}.$

Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính $AB = 2a$, $SA$ vuông góc với $\left( {ABCD} \right)$ và $SA = a\sqrt 3 .$ Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SCD} \right).$

Lời giải:
Góc giữa 2 mặt phẳng
Vì $ABCD$ là nửa lục giác đều nên $AD = DC = CB = a.$
Dựng đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $\left( {SCD} \right).$
Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ dựng $AH \bot CD$ tại $H$ $ \Rightarrow CD \bot \left( {SAH} \right).$
Trong mặt phẳng $\left( {SAH} \right)$ dựng $AP \bot SH$ $ \Rightarrow CD \bot AP$ $ \Rightarrow AP \bot \left( {SCD} \right).$
Dựng đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $\left( {SBC} \right).$
Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ dựng $AQ \bot SC.$
Lại có $AQ \bot BC$ vì $\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AC\\
BC \bot SA
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)$ $ \Rightarrow BC \bot AQ.$
Vậy $AQ \bot \left( {SBC} \right).$

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng ấy là $AP$ và $AQ.$
Ta tính góc $\widehat {PAQ}$, có $AH = \sqrt {A{D^2} – H{D^2}} $ $ = \sqrt {{a^2} – \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
$ \Rightarrow \frac{1}{{A{P^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}}$ $ \Rightarrow AP = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }}.$
Tam giác $SAC$ vuông cân tại $A$ $ \Rightarrow AQ = \frac{{SC}}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.$
$\Delta APQ$ vuông tại $P$ $ \Rightarrow \cos \widehat {PAQ} = \frac{{AP}}{{AQ}} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}$ $ \Rightarrow \widehat {PAQ}$ $ = \arccos \frac{{\sqrt {10} }}{5}.$

Ví dụ 3. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân với $BA = BC = a$, $SA \bot \left( {ABC} \right)$, $SA = a.$ Gọi $E, F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, AC.$ Tính $cosin$ góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SEF} \right)$ và $\left( {SBC} \right).$

Lời giải:
Góc giữa 2 mặt phẳng
Nhận xét: Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SEF} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là đường thẳng $St$ đi qua $S$ và song song với $EF$ và $BC$ nên ta xác định hai đường thẳng qua $S$ và lần lượt nằm trong hai mặt phẳng $\left( {SEF} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ và cùng vuông góc với $St$ (ta đi chứng minh hai đường thẳng đó là $SE$ và $SB$).

Vì $\left\{ \begin{array}{l}
EF \subset \left( {SEF} \right)\\
BC \subset \left( {SBC} \right)\\
EF {\rm{//}} BC
\end{array} \right. $ $⇒$ giao tuyến của $\left( {SEF} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là đường thẳng qua $S$, song song với $BC$, là $St.$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AB\\
BC \bot SA\left( {vì SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)
\end{array} \right. $ $ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$ $ \Rightarrow BC \bot SB$ hay $St \bot SB.$
Tương tự $EF \bot \left( {SAE} \right)$ $ \Rightarrow EF \bot SE$ mà $EF {\rm{//}} St$ $ \Rightarrow St \bot SE.$
Vậy $SB$ và $SE$ cùng đi qua $S$ và cùng vuông góc với $St$ nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SEF} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $SE.$
Ta tính góc $\widehat {BSE}.$
Có $SE = \sqrt {S{A^2} + A{E^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$; $SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = a\sqrt 2 $; $BE = \frac{a}{2}.$
Theo định lí $cosin$ ta có: $\cos \widehat {BSE} = \frac{{S{E^2} + S{B^2} – B{E^2}}}{{2.SE.SB}}$ $ = \frac{3}{{\sqrt {10} }}$ $ \Rightarrow \widehat {BSE} = \arccos \frac{3}{{\sqrt {10} }}.$

Góc giữa 2 mặt phẳng
5 (100%) 1 vote

BÌNH LUẬN

Please enter your comment!
Please enter your name here