Góc giữa 2 mặt phẳng

Bài viết góc giữa 2 mặt phẳng bao gồm: cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng, tính góc giữa 2 mặt phẳng, công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng, góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian oxyz…

Định nghĩa góc giữa 2 mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Góc giữa 2 mặt phẳng

Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng

TH1: Hai mặt phẳng \left( P \right),\left( Q \right) song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng {0^0}.

TH2: Hai mặt phẳng \left( P \right),\left( Q \right) không song song hoặc trùng nhau.

Cách 1:

+) Dựng hai đường thẳng n,p lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng \left( P \right)\left( Q \right).

+) Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng \left( P \right)\left( Q \right) là góc giữa hai đường thẳng n,p.

Góc giữa 2 mặt phẳng

Cách 2:

+) Xác định giao tuyến \Delta của hai mặt phẳng \left( P \right),\left( Q \right).

+) Tìm một mặt phẳng \left( R \right) vuông góc \Delta và cắt và hai mặt phẳng theo các giao tuyến a,b.

+) Góc giữa hai mặt phẳng \left( P \right),\left( Q \right) là góc giữa ab.

Góc giữa 2 mặt phẳng

Phương pháp tính góc giữa 2 mặt phẳng

Bài toán: Cho hai mặt phẳng (α)(β) cắt nhau, tính góc giữa hai mặt phẳng (α)(β).

Ta áp dụng một trong các phương pháp sau đây:

Phương pháp 1
Dựng hai đường thẳng a, b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng \left( \alpha \right)\left( \beta \right). Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng \left( \alpha \right)\left( \beta \right)\left( {\widehat {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)}} \right) = \left( {\widehat {a,b}} \right). Tính góc \left( {\widehat {a,b}} \right).

Phương pháp 2
+ Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng \left( \alpha \right)\left( \beta \right).
+ Dựng hai đường thẳng a, b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến c tại một điểm trên c. Khi đó: \left( {\widehat {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)}} \right) = \left( {\widehat {a,b}} \right).

Góc giữa 2 mặt phẳng

Hiểu cách khác: Ta xác định mặt phẳng phụ \left( \gamma \right) vuông góc với giao tuyến c\left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right) = a, \left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = b. Suy ra \left( {\widehat {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)}} \right) = \left( {\widehat {a,b}} \right).

Phương pháp 3 (trường hợp đặc biệt)

Góc giữa 2 mặt phẳng

Nếu có một đoạn thẳng nối hai điểm A, B \left( {A \in \left( \alpha \right), B \in \left( \beta \right)} \right)AB \bot \left( \beta \right) thì qua A hoặc B ta dựng đường thẳng vuông góc với giao tuyến c của hai mặt phẳng tại H. Khi đó \left( {\widehat {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)}} \right) = \widehat {AHB}.

Bài tập ví dụ tính góc giữa 2 mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy ABCD bằng aSA = SB = SC = SD = a. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng \left( {SAB} \right)\left( {SAD} \right).

Lời giải:
Góc giữa 2 mặt phẳng

Gọi I là trung điểm SA. Do tam giác SADSAB đều nên:
\left\{ \begin{array}{l} BI \bot SA\\ DI \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {SAB} \right),\left( {SAD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {BI,DI}} \right).
Áp dụng định lý cosin cho tam giác BID ta có:
\cos \widehat {BID} = \frac{{I{B^2} + I{D^2} - B{D^2}}}{{2IB.ID}} = \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}a} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}a.\frac{{\sqrt 3 }}{2}a}} = - \frac{1}{3}.
Vậy \cos \left( {\widehat {\left( {SAB} \right),\left( {SAD} \right)}} \right) = \frac{1}{3}.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a, SA vuông góc với \left( {ABCD} \right)SA = a\sqrt 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng \left( {SBC} \right)\left( {SCD} \right).

Lời giải:
Góc giữa 2 mặt phẳng
ABCD là nửa lục giác đều nên AD = DC = CB = a.
Dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với \left( {SCD} \right).
Trong mặt phẳng \left( {ABCD} \right) dựng AH \bot CD tại H \Rightarrow CD \bot \left( {SAH} \right).
Trong mặt phẳng \left( {SAH} \right) dựng AP \bot SH \Rightarrow CD \bot AP \Rightarrow AP \bot \left( {SCD} \right).
Dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với \left( {SBC} \right).
Trong mặt phẳng \left( {SAC} \right) dựng AQ \bot SC.
Lại có AQ \bot BC\left\{ \begin{array}{l} BC \bot AC\\ BC \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot AQ.
Vậy AQ \bot \left( {SBC} \right).

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng \left( {SBC} \right)\left( {SCD} \right) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng ấy là APAQ.
Ta tính góc \widehat {PAQ}, có AH = \sqrt {A{D^2} - H{D^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.
\Rightarrow \frac{1}{{A{P^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} \Rightarrow AP = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }}.
Tam giác SAC vuông cân tại A \Rightarrow AQ = \frac{{SC}}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.
\Delta APQ vuông tại P \Rightarrow \cos \widehat {PAQ} = \frac{{AP}}{{AQ}} = \frac{{\sqrt {10} }}{5} \Rightarrow \widehat {PAQ} = \arccos \frac{{\sqrt {10} }}{5}.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a, SA \bot \left( {ABC} \right), SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng \left( {SEF} \right)\left( {SBC} \right).

Lời giải:
Góc giữa 2 mặt phẳng
Nhận xét: Giao tuyến của hai mặt phẳng \left( {SEF} \right)\left( {SBC} \right) là đường thẳng St đi qua S và song song với EFBC nên ta xác định hai đường thẳng qua S và lần lượt nằm trong hai mặt phẳng \left( {SEF} \right)\left( {SBC} \right) và cùng vuông góc với St (ta đi chứng minh hai đường thẳng đó là SESB).

\left\{ \begin{array}{l} EF \subset \left( {SEF} \right)\\ BC \subset \left( {SBC} \right)\\ EF {\rm{//}} BC \end{array} \right. ⇒ giao tuyến của \left( {SEF} \right)\left( {SBC} \right) là đường thẳng qua S, song song với BC, là St.

Ta có \left\{ \begin{array}{l} BC \bot AB\\ BC \bot SA\left( {vì SA \bot \left( {ABC} \right)} \right) \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB hay St \bot SB.
Tương tự EF \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow EF \bot SEEF {\rm{//}} St \Rightarrow St \bot SE.
Vậy SBSE cùng đi qua S và cùng vuông góc với St nên góc giữa hai mặt phẳng \left( {SEF} \right)\left( {SBC} \right) bằng góc giữa hai đường thẳng SBSE.
Ta tính góc \widehat {BSE}.
SE = \sqrt {S{A^2} + A{E^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}; SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = a\sqrt 2; BE = \frac{a}{2}.
Theo định lí cosin ta có: \cos \widehat {BSE} = \frac{{S{E^2} + S{B^2} - B{E^2}}}{{2.SE.SB}} = \frac{3}{{\sqrt {10} }} \Rightarrow \widehat {BSE} = \arccos \frac{3}{{\sqrt {10} }}.

Bài viết này hữu ích như thế nào?

Xếp hạng / 5. Số phiếu:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *