Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài viết những hằng đẳng thức đáng nhớ bao gồm: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, các hằng đẳng thức mở rộng, các hằng đẳng thức tổng quát, các dạng bài tập áp dụng các hằng đẳng thức…
Những hằng đẳng thức đáng nhớ

7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Tóm tắt 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

1. Bình phương của một tổng

Bình phương của 1 tổng bằng bình phương số thứ 1 cộng hai lần tích của số thứ nhất với số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

\((a+b)^{2}= a^{2}+2ab+b^{2}\)

2. Bình phương của một hiệu

Bình phương của 1 hiệu bằng bình phương số thứ 1 trừ 2 lần tích số thứ nhất với số thứ 2 cộng với bình phương số thứ 2.

\((a-b)^{2}= a^{2}-2ab+b^{2}\)

3. Hiệu hai bình phương

Hiệu 2 bình phương bằng tích của tổng 2 số với hiệu 2 số.

\(a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\)

4. Lập phương của một tổng

Lập phương của 1 tổng bằng lập phương số thứ 1 + 3 lần tích bình phương số thứ 1 với số thứ 2 + 3 lần tích số thứ 1 với bình phương số thứ 2 + lập phương số thứ 2.

\((a+b)^{3}= a^{3}+3a^{2}b +3ab^{2}+b^{3}\)

5. Lập phương của một hiệu

Lập phương của 1 hiệu bằng lập phương số thứ 1 – 3 lần tích bình phương số thứ 1 với số thứ 2 + 3 lần tích số thứ 1 với bình phương số thứ 2 – lập phương số thứ 2.

\((a-b)^{3}= a^{3}-3a^{2}b +3ab^{2}-b^{3}\)

6. Tổng hai lập phương

Tổng hai lập phương bằng tích giữa tổng 2 số với bình phương thiếu của 1 hiệu.

\(a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\)

7. Hiệu hai lập phương

Hiệu 2 lập phương bằng tích giữa hiệu hai số với bình phương thiếu của 1 tổng.

\(a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\)

Các hằng đẳng thức mở rộng

Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 2

\((a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc\)

\((a+b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab-2ac-2bc\)

\((a-b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2ac+2bc\)

Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 3

\(a^3 + b^3 = (a+b)^3 – 3ab(a + b)\)

\(a^3 – b^3 = (a – b)^3 + 3ab(a – b)\)

\((a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(a+c)(b+c)\)
\(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)\)
\((a – b)^3 + (b – c)^3 + (c – a)^3 = 3(a – b)(b – c)(c – a)\)
\((a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)^2 + b(c – a)^2 + c(a – b)^2\)
\((a + b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\)
\((a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)^2 + b(c – a)^2 + c(a – b)^2\)
\((a + b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\)

Hằng đẳng thức dạng tổng quát

\(a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-a^{n-4}b^{3}+…+a^{2}b^{n-3}-a.b^{n-2}+b^{n-1})\)

với n là số lẻ thuộc tập N

\(a^n – b^n = (a – b)(a^{n – 1} + a^{n – 2}b + a^{n – 3}b^2 + … + a^2b^{n – 3} + ab^{n – 2} + b^{n – 1} )\)

Nhị thức Newton

\((a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n}C^{k}_{n}a^{n – k}b^{k}\)

Với \(a, b \epsilon \mathbb{R}, n \epsilon \mathbb{N}^{*}\)

Các dạng toán áp dụng 7 hằng đẳng thức

• Dạng 1 : Tính giá trị của biểu thức

Ví dụ:Tính giá trị của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 tại x = -1

* Lời giải.

– Ta có : A = x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2

– Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2=(-3)2= 9

⇒ Kết luận: Vậy tại x = -1 thì A = 9

• Dạng 2 : Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)

* Lời giải.

– Ta có: A =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x = 4 : hằng số không phụ thuộc vào biến x.

• Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ví dụ:Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 – 2x + 5

* Lời giải:

– Ta có : A = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4

– Vì (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x.

⇒ (x – 1)2 + 4 ≥ 4 hay A ≥ 4

– Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4, Dấu “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 hay x = 1

⇒ Kết luận GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1

• Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Ví dụ:Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 4x – x2

* Lời giải:

– Ta có : A = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 – 4x + x2) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2

– Vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x ⇔ -(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x

⇔ 4 – (x – 2)2 ≤ 4 [cộng 2 vế với 4]

⇔ A ≤ 4 Dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 hay x = 2

⇒ Kết luận GTLN của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.

• Dạng 5 : Chứng minh đẳng thức bằng nhau

Ví dụ: Chứng minh đẳng thức sau đúng: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

* Lời giải:

– Đối với dạng toán này chúng ta biến đổi VT = VP hoặc VT = A và VP = A

– Ta có: VT = (a + b)3 – (a – b)3

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3

= 6a2b + 2b3

= 2b(3a2 + b2) = VP (đpcm).

⇒ Kết luận, vậy : (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

Dạng 6 : Chứng minh bất đẳng thức

– Biến đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó dùng các phép biến đổi đưa A về 1 trong 7 hằng đẳng thức.

Ví dụ 1: Chứng minh biểu thức A nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến, biết: A = x2 – x + 1

* Lời giải:

– Ta có: \(A = {x^2} – x + 1 = {x^2} – 2.\frac{1}{2}x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {(x – \frac{1}{2})^2} + \frac{3}{4}\)
– Vì \({(x – \frac{1}{2})^2} \ge 0,\forall x\) nên \({(x – \frac{1}{2})^2} + \frac{3}{4} \ge 0,\forall x\)

• Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử

Ví dụ 1:Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x2 – 4x + 4 – y2

* Lời giải:

– Ta có : A = x2 – 4x + 4 – y2 [để ý x2 – 4x + 4 có dạng hằng đẳng thức]

= (x2 – 4x + 4) – y2 [nhóm hạng tử]

= (x – 2)2 – y2 [xuất hiện đẳng thức số A2 – B2]

= (x – 2 – y )( x – 2 + y)

⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)

• Dạng 8: Tìm giá trị của x

Ví dụ:Tìm giá trị củ x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0

* Lời giải.

x2(x – 3) – 4x + 12 = 0

⇔ x2(x – 3) – 4(x – 3) = 0

⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0

⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0

⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2

⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2

• Dạng 9 : Thực hiện phép tính phân thức

Ví dụ:Tính giá trị của phân thức \(I = \frac{{{x^3} – 1}}{{{x^2} – 2x + 1}}\) tại \(x = – 1\)

* Lời giải:

– Ta có : \(I = \frac{{{x^3} – 1}}{{{x^2} – 2x + 1}} = \frac{{(x – 1)({x^2} + x + 1)}}{{{{(x – 1)}^2}}} = \frac{{({x^2} + x + 1)}}{{(x – 1)}}\)

– Khi \(x = – 1\): \(I = \frac{{( – {1^2} + ( – 1) + 1)}}{{( – 1 – 1)}} = \frac{1}{{ – 2}} = – \frac{1}{2}\)

Mời các bạn xem thêm bài viết:

Công thức lũy thừa

Chia sẻ để mọi người cùng biết nhé! ❤
Viết một bình luận