Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức

Bài viết lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức bao gồm: Cách chia đa thức cho đa thức bằng lược đồ Hoocne, bài tập chia đa thức áp dụng lược đồ Hoocne…

Cách chia đa thức

Cách chia đa thức cho đa thức ta trình bày phép chia tương tự như cách chia các số tự nhiên. Với hai đa thức A và B của một biến, B ≠0 tồn tại duy nhất hai đa thức Q và R sao cho:

A = B . Q + R, với R = 0 hoặc bậc bé hơn bậc của 1

Nếu R = 0, ta được phép chia hết.

Nếu R ≠0, ta được phép chia có dư.

Chú ý: Có thể dùng hằng đẳng thức để rút gọn phép chia

(A^{3}+B^{3}):(A+B)=A^{2}-AB+B^{2}

(A^{3}-B^{3}):(A-B)=A^{2}+AB+B^{2}

(A^{2}-B^{2}):(A+B)=A-B

Ví dụ:

Ví dụ: Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép chia:

(125x^{3} + 1) : (5x + 1)

Hướng dẫn giải:

(x^{2}-2xy+y^{2}) : (y-x) = (x-y)^{2}: [-(x-y)] =-(x-y)=y-x

Hoặc:

(x^{2}-2xy+y^{2}):(y-x) = (y^{2}-2xy+x^{2}) : (y-x)

Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne)

Hoocner có rất nhiều ứng dụng trong việc giúp ta giải nhanh các bài toán. Một trong những ứng dụng đó là áp dụng vào cách chia đa thức cho đa thức.

Phương pháp Hoocne

Lược đồ Hoocner dùng để tìm đa thức thương và dư trong phép chia đa thức f(x) cho đa thức x - \alpha, khi đó ta thực hiện như sau:

Giả sử cho đa thức f(x) = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + ... + {a_{n - 1}}{x^1} + {a_n}.

Khi đó đa thức thương g(x) = {b_0}{x^{n - 1}} + {b_1}{x^{n - 2}} + ... + {b_{n - 1}} và đa thức dư được xác định theo lược đồ sau:

Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne)

Giải thích cách sử dụng lược đồ Hoocne

Trong lược đồ gồm 2 hàng: Hàng trên chứa hệ số của đa thức f(x), hàng dưới chứa hệ số tìm được của g(x)

Bước 1: Sắp xếp các hệ số của đa thức f(x) theo ẩn giảm dần và đặt số \alpha vào vị trí đầu tiên của hàng 2. Nếu trong đa thức mà khuyết ẩn nào thì hệ số của nó coi như bằng 0 và ta vẫn phải cho vào lược đồ.

Bước 2: Hạ hệ số {a_0} ở hàng trên xuống hàng dưới cùng cột. Đây cũng chính là hệ số đầu tiên của g(x) tìm được, tức là: {b_0} = {a_0}.

Bước 3: Lấy số \alpha nhân với hệ số vừa tìm được ở hàng 2 rồi cộng chéo với hệ số hàng 1.

Ta có: {b_1} = \alpha .{b_0} + {\alpha _1}

Quy tắc nhớ:”Nhân ngang, cộng chéo”

Bước 4: Cứ làm như vậy cho tới hệ số cuối cùng. và kết quả ta sẽ có:

f(x) = (x - \alpha ).g(x) + r

Hay:

{a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + ... + {a_{n - 1}}{x^1} + {a_n}

= (x - \alpha )({b_0}{x^{n - 1}} + {b_1}{x^{n - 2}} + ... + {b_{n - 1}}) + r

Chú ý:

Bậc của đa thức g(x) luôn nhỏ hơn bậc của đa thức f(x) 1 đơn vị vì đa thức chia x - \alpha có bậc là 1

Nếu r = 0 thì đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x)x = \alpha sẽ là một nghiệm của đa thức f(x).

Phương pháp trên đây chính là cách chia đa thức bằng lược đồ Hoocne. Để hiểu hơn ta sẽ xem 1 bài tập ví dụ bên dưới.

Bài tập chia đa thức áp dụng lược đồ Hoocne

Bài tập: Thực hiện phép chia đa thức f(x) = {x^4} - 2{x^3} - 3{x^2} + 7x - 2 cho đa thức x - 2

Hướng dẫn giải:

Trước khi làm bài tập này ta có một chú ý 1 mẹo nhỏ: Nhẩm nghiệm nguyên dương của đa của đa thức f(x) = 0 để chọn \alpha.

=> chọn \alpha = 2

Dựa vào hướng dẫn trên ta sẽ có lược đồ Hoocne cho bài toán như sau:
bài tập Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne)
Đa thức g(x) ở đây sẽ là:

g(x) = 1.{x^3} + 0.{x^2} - 3.x + 1

= {x^3} - 3x + 1

Vậy kết quả ta có:

{x^4} - 2{x^3} - 3{x^2} + 7x - 2 = (x - 2)({x^3} - 3x + 1)

Bài viết này hữu ích như thế nào?

Xếp hạng / 5. Số phiếu:

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *