Nhị thức Newton

Bài viết nhị thức Newton bao gồm: nhị thức Newton cơ bản, khai triển nhị thức Newton, tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton, nhị thức Newton trong đề thi đại học…

Công thức nhị thức Newton

\({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n – k}}{b^k}} \) \(= C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + C_n^2{a^{n – 2}}{b^2} + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\)

– Quy ước: \({a^0} = {b^0} = 1\)

Tam giác Pascal trong khai triển nhị thức Newton

Các hàng đẳng thức

Các hàng đẳng thức

Mời các bạn xem thêm bài viết:

Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Tam giác Pascal

Tam giác Pascal được thiết lập theo quy luật sau:

Tam giác Pascal

Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1

Nếu hàng thứ \(n(n \ge 1)\) thì hang thứ n + 1 tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hang thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở vị trí đầu hàng và cuối hàng.

Nhận xét: Các số ở hàng thứ n trong tam giác Pascal là dãy gồm n+1 số \(C_n^0,C_n^1,C_n^2,…,C_n^{n – 1},C_n^n\).

Một số công thức khai triển nhị thức Newton hay sử dụng

Một số công thức khai triển nhị thức Newton hay sử dụng

Một số dạng bài tập áp dụng nhị thức Newton

Dạng 1: Dạng tìm số hạng thứ k trong khai triển nhị thức Newton.

Phương pháp chung:

Số hạng thứ k trong khai triển (a + b)n là \(C_n^{k – 1}{a^{n – (k – 1)}}{b^{k – 1}}\)

Ví dụ 1: Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển (2 – 3x)25.

Giải:

Số hạng thứ 21 là: \(C_{25}^{20}{2^5}{( – 3x)^{20}} = {2^5}{.3^{20}}.C_{25}^{20}{x^{20}}\)

Dạng 2: tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton.

Tìm hệ số của \({x^k}\) trong khai triển.

Phương pháp chung:

– Sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn.

– Tìm số hạng có chứa \({x^k}\) và tìm hệ số tương ứng.

Ví dụ 2: Tìm hệ số của \({x^3}\) trong khai triển \({\left( {2 + x} \right)^5}\)

Giải:

Ta có: \({\left( {2 + x} \right)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k{2^{5 – k}}{x^k}} \)

Cho \(k = 3\) ta được hệ số của \({x^3}\) là \(C_5^3{.2^{5 – 3}} = 40\)

Dạng 3: Tính tổng, chứng minh đẳng thức.

Phương pháp chung:

– Sử dụng khai triển

\({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + C_n^2{a^{n – 2}}{b^2} + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}\)

– Bằng cách thay \(a,b,n\) bằng các giá trị thích hợp ta sẽ được các đẳng thức.

Ví dụ 3: Chứng minh \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + … + C_n^n = {2^n}\)

Giải:

Ta có: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n – k}}{b^k}} \)

Quan sát tổng vế trái ta thấy chỉ xuất hiện các \(C_n^k\) nên cho \(a = 1,b = 1\) ta được:

\({\left( {1 + 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{1^{n – k}}{1^k}} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} \)\( = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + … + C_n^n\)

Suy ra điều phải chứng minh.

Dạng 4: Số hạng có hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức.

Ví dụ 4:

Khai triển $P(x)=\left(1+3x\right)^8$ thành đa thức $P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{8}x^{8}$. Tìm số lớn nhất trong các số $a_0, a_1,a_2,\dots, a_8$.

Giải:

Ta có $\displaystyle P(x)=\left(1+3x\right)^8=\sum_{k=0}^8C_8^k.3^k.x^k.$ Như vậy $a_k=C_8^k.3^k,\;k=0, 1, 2,…, 8$.

Giả sử $a_k\leq a_{k+1}$. Khi đó:

\begin{align*}
&\;C_8^k.3^k\leq C_8^{k+1}.3^{k+1}\Leftrightarrow \dfrac{8!}{k!(8-k)!}\leq 3\cdot\dfrac{8!}{(k+1)!(7-k)!}\\
\Leftrightarrow&\; k+1\leq 3(8-k)\Leftrightarrow k\leq \dfrac{23}{4}=5.75\Leftrightarrow k\in\{0; 1; 2; 3; 4; 5\}.
\end{align*}

Suy ra, $a_0\leq a_1\leq a_2\leq a_3\leq a_4\leq a_5\leq a_6$ và $a_7\geq a_8$.
So sánh $a_6=C_8^6.3^6=20412$ với $a_7=C_8^7.3^7=17496$ ta có $a_6$ là số lớn nhất trong các số $a_0, a_1,a_2,\dots, a_8$.

Nhận xét:

+) Lời giải trên đã sử dụng ý tưởng phân dãy số hạng $a_1, a_2, \dots, a_n$ thành nhiều nhóm nhỏ, rồi tìm số hạng lớn nhất trong mỗi nhóm, từ đó so sánh chúng với nhau và tìm được số hạng lớn nhất.

+) Để dễ hình dung, giả sử ta phân được thành 3 nhóm và các số hạng trong mỗi nhóm sẽ tăng dần hoặc giảm dần. Chẳng hạn như:

$$\big| \underbrace{a_1\leq a_2\leq \dots\leq a_i}_{\text{nhóm 1}}\big| \underbrace{ a_{i+1}\geq a_{i+2}\geq\dots\geq a_j}_{\text{nhóm 2}} \big|\underbrace{a_{j+1}\leq a_{j+2}\leq\dots\leq a_n}_{\text{nhóm 3}}\big|$$

Như vậy, số hạng lớn nhất trong nhóm 1 là $a_i$, số hạng lớn nhất trong nhóm 2 là $ a_{i+1}$, số hạng lớn nhất trong nhóm 3 là $a_n$. Tiếp tục so sánh 3 số $a_i, a_{i+1}, a_n$ với nhau để tìm ra số hạng lớn nhất trong cả dãy $a_1, a_2, \dots, a_n$.

+) Bằng cách giải bất phương trình $a_k\leq a_{k+1}$ với ẩn là số nguyên $k$ nằm trong giới hạn từ $1$ đến $n$ ta sẽ phân được thành các nhóm mà số hạng trong mỗi nhóm tăng dần.

Còn lại các số nguyên $k$ nằm trong giới hạn từ $1$ đến $n$ nhưng không thỏa mãn bất phương trình $a_k\leq a_{k+1}$ thì sẽ là nghiệm của bất phương trình $a_k\geq a_{k+1}$, nên các số nguyên $k$ này sẽ phân thành các nhóm mà số hạng trong mỗi nhóm giảm dần.

Cụ thể như trong ví dụ trên, bất phương trình $a_k\leq a_{k+1}$ nghiệm đúng với các số nguyên $k\leq \dfrac{23}{4}=5.75$, tức là $k\in\{0; 1; 2; 3; 4; 5\}$.

Như thế $a_0\leq a_1\leq a_2\leq a_3\leq a_4\leq a_5\leq a_6$. Các số nguyên còn lại là nghiệm của bất phương trình $a_k\geq a_{k+1}$, nghĩa là $a_7\geq a_8$.

Chia sẻ để mọi người cùng biết nhé! ❤
Viết một bình luận