Parabol

309

Parabol: định nghĩa đường Parabol, phương trình Parabol, phương trình chính tắc của parabol, xác định tọa độ đỉnh của parabol…

Parabol

Định nghĩa đường parabol

Cho một điểm F cố định và một đường thẳng cố định không đi qua F. Tập hợp các điểm M cách đều F và được gọi là đường parabol (hay parabol) (h. 92).

Điểm F được gọi là  tiêu điểm  của parabol.

Đường thẳng  được gọi là  đường chuẩn của parabol.

Khoảng cách từ F đến được gọi là tham số tiêu  của parabol.

Parabol
Ta có thể vẽ parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn  như sau (h. 93) : Lấy một êke ABC (vuông ở A) và một đoạn dây không đàn hồi, có độ dài bằng AB. Đính một đầu dây vào điểm F, đầu kia vào đỉnh B của êke. Đặt êke sao cho cạnh AC nằm trên , lấy đầu bút chì ép sát sợi dây rồi cho cạnh AC của êke trượt trên . Khi đó đầu M của bút chì sẽ vạch nên một phần của parabol (vì ta luôn có MF = MA).

Parabol

Phương trình Parabol

Phương trình Parabol được biểu diễn như sau: \(y = a^{2}+bx+c\)

Hoành độ của đỉnh là \(\frac{-b}{2a}\)

Thay tọa độ trục hoành vào phương trình, ta tìm được hoành độ Parabol có công thức dưới dạng: \(\frac{b^{2}-4ac}{4a}\)

Phương trình chính tắc của parabol

Phương trình chính tắc của parabol được biểu diễn dưới dạng:

\(y^{2}= 2px (p> 0)\)

Chứng minh:

Cho parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn \(\Delta\).

Kẻ \(FP\perp \Delta (P \in \Delta )\). Đặt FP = p.

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của FP và điểm F nằm trên tia Ox.

Parabol

Suy ra ta có \(F= (\frac{P}{2};0), P= (-\frac{P}{2};0)\)

Và phương trình của đường thẳng \(\Delta\) là \(x + \frac{p}{2} = 0\)

Điểm M(x ; y) nằm trên parabol đã cho khi và chỉ khi khoảng cách MF bằng khoảng cách từ M tới \(\Delta\), tức là:

\(\sqrt{(x- \frac{p}{2})^{2}+ y^{2}} = \left | x + \frac{p}{2} \right |\)

Bình phương 2 vế của đẳng thức rồi rút gọn, ta được phương trình chính tắc của parabol:

\(y^{2}= 2px (p> 0)\)

Chú ý: Ở môn đại số, chúng ta gọi đồ thị của hàm số bậc hai \(y = ax^{2} + bx + c\) là một đường parabol.

Xác định tọa độ đỉnh của parabol

Ví dụ: Xác định tọa độ của đỉnh và các giao điểm với trục tung, trục hoành (nếu có) của mỗi parabol.

a) \(y = x^{2} – 3x + 2\)

b)\(y = -2x^{2} + 4x – 3\)

Hướng dẫn:

a) \(y = x^{2} – 3x + 2\). Có hệ số: a = 1, b = – 3, c = 2.

\(\Delta = b^{2} – 4ac\) = (-3).2 – 4.1.2 = – 1

Tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số \(I(\frac{-b}{2c};\frac{-\Delta }{4a})\)

Hoành độ đỉnh \(x_{I} = \frac{-b}{2a} = \frac{-3}{2}\)

Tung độ đỉnh \(y_{I} = \frac{-\Delta }{4a} = \frac{-1}{4}\)

Vậy đỉnh parabol là \(I (\frac{-3}{2};\frac{-1}{4})\)

Cho x = 0 → y = 2 ⇒ A(0; 2) là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.

Cho y = 0 ↔ \(x^{2} – 3x + 2 = 0\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x_{1} = 1 & \\ x_{2} = 2 & \end{matrix}\right.\)

Suy ra B(1; 0) và C(2; 0) là giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.

b) Cho \(y = -2x^{2} + 4x – 3\). Có a = -2 , b = 4, c = -3

Δ = \(\Delta = b^{2} – 4ac\) = 42 – 4. (-2).(-3) = – 8

Tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số \(I(\frac{-b}{2c};\frac{-\Delta }{4a})\)

Hoành độ đỉnh \(x_{I} = \frac{-b}{2a} = 1

Tung độ đỉnh [latex]y_{I} = \frac{-\Delta }{4a}= 1

Vậy đỉnh parabol là I (1; 1)

Cho x = 0 => y = – 3 ⇒ A(0; -3) là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.

Cho y = 0 => [latex]-2x^{2} + 4x – 3 = 0\)

\(\Delta\) = b2 – 4ac = \(4^{2}\) – 4. (-2).(-3) = – 8 < 0.

Phương trình vô nghiệm ⇒ không tồn tại giao điểm của hàm số với trục hoành.

Ví dụ parabol

Xác định parabol y = ax2 + bx + 2, biết rằng parabol đó:

a) Đi qua hai điểm M(1; 5) và N(- 2; 8);

b) Đi qua hai điểm A(3;- 4) và có trục đối xứng là x=-3/2

c) Có đỉnh là I(2;- 2);

d) Đi qua điểm B(- 1; 6) và tung độ của đỉnh là -1/4

Hướng dẫn.

a) M(1; 5) ∈ (P) nên tọa độ của M thỏa mãn parabol:yM = axM2 + bxM + 2 ↔ 5 = a.12 + b.1 + 2. (1)

N(- 2; 8) ∈ (P) nên tọa độ của N thỏa mãn parabol:yN = axN2 + bxN + 2 ↔ 8 = a.(- 2)2 + b.(- 2) + 2 (2)

Giải hệ phương trình:(1) và (2) ta được a = 2, b = 1.

Vậy Parabol có phương trình là: y = 2x2 + x + 2.

b) Đi qua điểm A(3;- 4) và có trục đối xứng là x=-3/2

  • A(3;- 4) ∈ (P) nên tọa độ của A thỏa mãn parabol:yA = axA2 + bxA + 2 ↔ -4 = a.32 + b.3 + 2 (1)
  • y = ax2 + bx + 2 có trục đối x = -b/2a ↔ -3/2 = -b/2a ↔ b = 3a (2)

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta có a = -1/3, b = -1

Parabol: y = -1/3x2 – x + 2.

c) Cho hàm số y = ax2 + bx + 2

Tọa độ đỉnh của hàm số là I(-b/2a; -Δ/4a). Theo đề bài cho tọa độ đỉnh là I(2;- 2)

  • -b/2a = 2 ↔ -b = 4a (1)
  • -Δ/4a = – 2 ↔ -(b2 – 8a )= -8a (2)

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta thu được kết quả là b = 0 và b = -4

với b = 0 → a = 0 → y = 2 là 1 đường thẳng (loại)

với b = -4 → a = 1

Kết luận Parabol cần tìm là Parabol: y = x2 – 4x + 2.

d) Đi qua điểm B(- 1; 6) và tung độ của đỉnh là -1/4

  • B(- 1; 6) ∈ (P) nên tọa độ của B thỏa mãn parabol:yB = axB2 + bxB + 2 ↔ 6 = a.(-1)2 + b.(-1) + 2
  • Tọa độ đỉnh I(-b/2a; -Δ/4a) tung độ của tọa độ đỉnh là yI = -Δ/4a = -1/4 ↔ – (b2 – 8a )= -a (2)

Giải hệ phương trình (1) và (2) thu được kết quả

  • a = 16 →b = 12
  • a = 1 → b = -3

Parabol: y = 16x2 + 12x + 2 hoặc y = x2 – 3x + 2.

Parabol
Đánh giá

BÌNH LUẬN

Please enter your comment!
Please enter your name here