Thể tích hình chóp cụt

418

Thể tích hình chóp cụt là gì? Công thức tính thể tích hình chóp cụt, cách tính thể tích hình chóp cụt…
Thể tích hình chóp cụt

Công thức tính thể tích hình chóp cụt

Gọi S và S’ lần lượt là diện tích của đáy lớn và đáy nhỏ của hình chóp cụt; h là chiều cao của nó (h chính là khoảng cách giữa 2 mặt phẳng chứa 2 đáy; cũng bằng khoảng cách từ 1 điểm bất kì trên đáy này đến mặt phẳng chứa đáy kia). Khi đó, thể tích của hình chóp cụt là:

$V=\frac{1}{3}h(S+S’+\sqrt{SS’}) $

($V $ là thể tích hình chóp cụt, $h $ là chiều cao hình chóp, $S,S’ $ là diện tích 2 đáy)

Chứng minh công thức tính thể tích hình chóp cụt

Gọi hai đáy là hai đa giác $A_1A_2…A_n $ và $A_1’A_2’…A_n’ $. Gọi S là điểm đồng quy của các đường thẳng $A_1A_1′ $, $A_2A_2′ $, … $A_nA_n’ $. Gọi $V_1, V_2 $ lần lượt là thể tích các khối chóp $S.A_1A_2…A_n $ và $S.A_1’A_2’…A_n’ $, gọi $h_1, h_2 $ lần lượt là chiều cao của hai khối chóp $S.A_1A_2…A_n $ và $S.A_1’A_2’…A_n’ $ ta có: $h = h_1-h_2 $. Gọi diện tích hai đáy là $S_1 $ và $S_2 $ với $(S_1 >S_2) $.

Ta có $V = V_1-V_2 = \frac{1}{3}h_1.S_1-\frac{1}{3}h_1.S_2 $, (*).

Do hai đáy là hai đa giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng bằng $\frac{h_2}{h_1} $ nên ta có: $\frac{S_2}{S_1}=\frac{h_2^2}{h_1^2} $ hay $\frac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_1}}=\frac{h_2}{h_1} $

$\Longleftrightarrow $ $\frac{h_2}{\sqrt{S_2}}=\frac{h_1}{\sqrt{S_1}} $

$\Longleftrightarrow $ $\frac{h_2}{\sqrt{S_2}}=\frac{h_1}{\sqrt{S_1}} = \frac{h_1-h_2}{\sqrt{S_1}-\sqrt{S_2}}=\frac{h}{\sqrt{S_1}-\sqrt{S_2}} $

Từ đó ta có: $h_1=\frac{h.\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_1}-\sqrt{S_2}} $ và $h_2=\frac{h.\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_1}-\sqrt{S_2}} $

Khi đó thay vào (*) ta có: $V=\frac{1}{3}.\frac{h.S_1.\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_1}-\sqrt{S_2}}-\frac{1}{3}.\frac{h.S_2.\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_1}-\sqrt{S_2}} $

$= \frac{1}{3}.h.\frac{S_1\sqrt{S_1}-S_2\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_1}-\sqrt{S_2}} $

$= \frac{1}{3}.h.\frac{(\sqrt{S_1})^3-(\sqrt{S_2})^3}{\sqrt{S_1}-\sqrt{S_2}} $

$= \frac{1}{3}.h.\frac{(\sqrt{S_1}-\sqrt{S_2})(S_1+S_2+\sqrt{S_1.S_2})}{\sqrt{S_1}-\sqrt{S_2}} $

$= \frac{1}{3}.h.(S_1+S_2+\sqrt{S_1.S_2}) $, (điều phải chứng minh)

Ví dụ cách tính thể tích hình chóp cụt

Cho một hình nón cụt có bán kính hai mặt đáy r1 và r2 lần lượt bằng 5cm và 9cm. Chiều cao nối giữa hai bán kính mặt đáy này có độ dài 8cm. Hỏi diện tích toàn phần của hình nón này bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Áp dụng theo công thức tính thể tích hình nón cụt ta có: r1 = 5cm, r2 = 9cm, h = 8cm

Vậy thể tích của hình nón cụt là: V=3,14*8/3(52 + 92 + 5*9) = 1,263 cm3

Như vậy thể tích của hình nón cụt này bằng xấp xỉ 1263 cm3 hoặc 12,63 m3

Trên đây là bài viết thể tích hình chóp cụt, chúc các bạn thành công!

Thể tích hình chóp cụt
5 (100%) 1 vote

BÌNH LUẬN

Please enter your comment!
Please enter your name here