Tích vô hướng của 2 vectơ

Tích vô hướng của 2 vectơ: Góc giữa hai vectơ, Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ, Tính chất của tích vô hướng, Biểu thức tọa độ của tích vô hướng…
Tích vô hướng của 2 vectơ

Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ \vec a và \vec b được mô tả như hình sau:
Tích vô hướng của 2 vectơ

Số đo góc trên được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ \vec a và \vec b.

Nếu số đo ấy bằng 90 độ, ta nói \vec a vuông góc với \vec b.

Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ \vec a và \vec b là một số (đại lượng đại số), được kí hiệu là \vec a.\vec b và được xác định bởi công thức

\vec a.\vec b=|\vec a|.|\vec b|.cos\left ( \vec a,\vec b \right )

Bình phương vô hướng:

Với mỗi vectơ \vec a tùy ý, tích vô hướng \vec a.\vec a được kí hiệu là |\vec a|^2 được gọi là bình phương vô hướng

Ta có: \vec a^2=|\vec a|.|\vec a|.cos0^o=|\vec a|^2

Như vậy: Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó

Tính chất của tích vô hướng

a) Định lí
Với ba vectơ \vec a,\vec b,\vec c tùy ý và một số thực k, ta có:

\vec a.\vec b=\vec b.\vec a (tính chất giao hoán)

\vec a.\vec b=0\Leftrightarrow \vec a\perp \vec b

(k\vec a).\vec b=\vec a.(k\vec b)=k.(\vec a.\vec b)

\vec a. (\vec b\pm \vec c)=\vec a.\vec b\pm \vec a.\vec c (tính chất phân phối tổng hiệu)

b) Phương tích của một điểm đối với một đường tròn

Tích vô hướng của 2 vectơ

Ta dễ dàng chứng minh được MT^2=MA.MB thông qua việc chứng minh tam giác đồng dạng

Mặc khác theo định lý Pytago vào tam giác OMT vuông tại T (vì MT là tiếp tuyến)

Ta có: MT^2=OM^2-OT^2

Theo ý trên: MA.MB=\vec{MA}.\vec{MB} (vì M, A, B thẳng hàng)

Vậy: \vec{MA}.\vec{MB}=OM^2-OT^2

Đây chính là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O).

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho hai vectơ \vec{a}(x;y);\vec{b}(x';y'). Khi đó:

\vec{a}.\vec{b}=xx'+yy'
|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}
cos(\vec{a};\vec{b})=\frac{xx'+yy'}{\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{x'^2+y'^2}},\vec{a}\neq \vec{0};\vec{b}\neq \vec{0}
\vec{a}\perp \vec{b}\Leftrightarrow xx'+yy'=0

Ví dụ cho tích vô hướng của 2 vectơ

Ví dụ 1:
Tính tích vô hướng của \vec{a}(2;3) và \vec{b}(1;1) biết chúng tạo với nhau một góc 30^o

Lời giải:
Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ, ta có: \vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}|.|\vec{b}|.cos30

=\sqrt{2^2+3^2}.\sqrt{1^2+1^2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{78}}{2}

Ví dụ 2:
Cho hình vuông ABCD cạnh a đường chéo BD. Tính các tích vô hướng sau: \vec{AD}.\vec{AB}\vec{AD}.\vec{BD} và \vec{AB}.\vec{CD}

Lời giải:

Tích vô hướng của 2 vectơ

Vì AD\perp AB nên \vec{AD}.\vec{AB}=0

\vec{AD}.\vec{BD}=|\vec{AD}|.|\vec{BD}|cosADB\\=a.a\sqrt{2}.cos45=a^2

\vec{AB}.\vec{CD}=|\vec{AB}|.|\vec{CD}|.cos0^o=a^2

Ví dụ 3:
Tính giá trị của biểu thức A=\frac{11tan\alpha-5cot\alpha}{34tan\alpha+2cot\alpha} biết sin\alpha=\frac{1}{4}

Lời giải:
Ta có: A=\frac{11tan\alpha-5cot\alpha}{34tan\alpha+2cot\alpha}=\frac{11\frac{sin\alpha}{cos\alpha}-5\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}{34\frac{sin\alpha}{cos\alpha}+2\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}=\frac{11sin^2\alpha-5cos^2\alpha}{34sin^2\alpha+2cos^2\alpha}

=\frac{16sin^2\alpha-5}{36sin^2\alpha+2}

=\frac{16.(0,25)^2-5}{32.(0,25)^2+2}=-1

Ví dụ 4:
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

B=2(sin^6x+cos^6x)-3(sin^4x+cos^4x)

Lời giải:
Ta có:

B=2(sin^6x+cos^6x)-3(sin^4x+cos^4x)

=2(sin^2x+cos^2x)(sin^4x-sin^2xcos^2x+cos^4x)\\-3(sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x-2sin^2xcos^2x)

=2(sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x-3sin^2xcos^2x)\\-3(1-2sin^2xcos^2x)

=2(1-3sin^2xcos^2x)-3(1-2sin^2xcos^2x)

=-1

Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của góc x

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *