Xét tính chẵn lẻ của hàm số

535

Bài viết xét tính chẵn lẻ của hàm số bao gồm: cách xét tính chẵn lẻ của hàm số, bài tập xét tính chẵn lẻ của hàm số…
Xét tính chẵn lẻ của hàm số

Khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có tập xác định D.

Hàm số \(f\) được gọi là hàm số chẵn nếu với \(\forall x \in D\) thì \( – x \in D\) và \(f\left( x \right) = f\left( { – x} \right)\) .

Hàm số \(f\) được gọi là hàm số lẻ nếu với \(\forall x \in D\)thì \( – x \in D\) và \(f\left( x \right) = – f\left( { – x} \right)\)

Chú ý: Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ.

Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ

Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.

Cách xét tính chẵn lẻ của hàm số

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(D\)

\(f\) là hàm số chẵn \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow – x \in D\\f\left( { – x} \right) = f\left( x \right)\end{array} \right.\)

\(f\) là hàm số lẻ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow – x \in D\\f\left( { – x} \right) = – f\left( x \right)\end{array} \right.\)

Các bước xét tính chẵn, lẻ của hàm số:

Bước 1. Tìm tập xác định \(D\) của hàm số.

Bước 2. Kiểm tra:

+ Nếu \(\forall x \in D \Rightarrow – x \in D\) thì chuyển qua bước 3.

+ Nếu tồn tại \({x_0} \in D\) mà \( – {x_0} \notin D\) thì kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.

Bước 3. Xác định \(f\left( { – x} \right)\) và so sánh với \(f\left( x \right):\)

+ Nếu \(f\left( { – x} \right) = f\left( x \right)\) thì kết luận hàm số là chẵn.

+ Nếu \(f\left( { – x} \right) = – f\left( x \right)\)thì kết luận hàm số là lẻ.

Bài tập xét tính chẵn lẻ của hàm số

Ví dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = 3{x^3} + 2\sqrt[3]{x}\)

b) \(f\left( x \right) = {x^4} + \sqrt {{x^2} + 1} \)

c) \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 5} + \sqrt {5 – x} \)

d) \(f\left( x \right) = \sqrt {2 + x} + \frac{1}{{\sqrt {2 – x} }}\)

Giải

a) Tập xác định của hàm số: \(D = R\)

Với mọi \(x \in R\) ta có \( – x \in R\) và \(f\left( { – x} \right) = 3{\left( { – x} \right)^3} + 2\sqrt[3]{{ – x}} = – \left( {3{x^3} + 2\sqrt[3]{x}} \right) = – f\left( x \right)\)

Do đó \(f\left( x \right) = 3{x^3} + 2\sqrt[3]{x}\)là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số: \(D = R\)

Với mọi \(x \in R\)ta có \( – x \in R\) và \(f\left( { – x} \right) = {\left( { – x} \right)^4} + \sqrt {{{\left( { – x} \right)}^2} + 1} = {x^4} + \sqrt {{x^2} + 1} = f\left( x \right)\)

Do đó \(f\left( x \right) = {x^4} + \sqrt {{x^2} + 1} \) là hàm số chẵn.

c) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 5 \ge 0\\5 – x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge – 5\\x \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow – 5 \le x \le 5\)

Suy ra tập xác định của hàm số là: \(D = \left[ { – 5;5} \right]\)

Với mọi \(x \in \left[ { – 5;5} \right]\)ta có \( – x \in \left[ { – 5;5} \right]\) và \(f\left( { – x} \right) = \sqrt { – x + 5} + \sqrt {5 – \left( { – x} \right)} = \sqrt {5 – x} + \sqrt {x + 5} = f\left( x \right)\)

Do đó \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 5} + \sqrt {5 – x} \) là hàm số chẵn.

d) Điều kiện xác định: \[\left\{ \begin{array}{l}2 + x \ge 0\\2 – x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge – 2\\x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow – 2 \le x < 2\]

Suy ra tập xác định của hàm số là: \(D = \left[ { – 2;2} \right)\)

Ta có \({x_0} = – 2 \in \left[ { – 2;2} \right)\) nhưng \( – {x_0} = 2 \notin \left[ { – 2;2} \right)\)

Vậy hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2 + x} + \frac{1}{{\sqrt {2 – x} }}\) không chẵn và không lẻ.

Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = {x^4} – 4x + 2\)

b) \(f\left( x \right) = \left| {\left| {x + 2} \right| – \left| {x – 2} \right|} \right|\)

c) \(f\left( x \right) = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} – x}}\)

d) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} – 1\,\,khi\,\,x < 0\\0\,\,khi\,\,x = 0\\1\,\,khi\,\,x > 0\end{array} \right.\)

Giải

a) Tập xác định của hàm số: \(D = R\)

Ta có \[f\left( { – 1} \right) = 7;\,\,f\left( 1 \right) = – 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( { – 1} \right) \ne f\left( 1 \right)\\f\left( { – 1} \right) \ne – f\left( 1 \right)\end{array} \right.\]

Vậy hàm số không chẵn và không lẻ.

b) Tập xác định của hàm số: \(D = R\)

Với mọi \(x \in R\) ta có \( – x \in R\) và \(f\left( { – x} \right) = \left| {\left| { – x + 2} \right| – \left| { – x – 2} \right|} \right| = \left| {\left| {2 – x} \right| – \left| {x + 2} \right|} \right| = \left| {\left| {x – 2} \right| – \left| {x + 2} \right|} \right|\)

Suy ra \(f\left( { – x} \right) = f\left( x \right)\)

Do đó \(f\left( x \right) = \left| {\left| {x + 2} \right| – \left| {x – 2} \right|} \right|\) là hàm số chẵn.

c) Ta có \(\sqrt {{x^2} + 1} > \sqrt {{x^2}} = \left| x \right| \ge x \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1} – x \ne 0\,\,\forall x\)

Suy ra tập xác định của hàm số là: \(D = R\) .

Mặt khác \(\sqrt {{x^2} + 1} > \sqrt {{x^2}} = \left| x \right| \ge – x \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1} + x \ne 0\,\,\forall x\) do đó \(f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}}}{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} – x} \right)}} – 2{x^2} – 1 = 2x\sqrt {{x^2} + 1} \)

Với mọi \(x \in R\) ta có \( – x \in R\) và \(f\left( { – x} \right) = 2\left( { – x} \right)\sqrt {{{\left( { – x} \right)}^2} + 1} = – 2x\sqrt {{x^2} + 1} = – f\left( x \right)\)

Do đó \(f\left( x \right) = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} – x}}\)là hàm số lẻ.

d) Tập xác định của hàm số: \(D = R\)

Dễ thấy với mọi \(x \in R\) ta có \( – x \in R\)

Với mọi \(x > 0\) ta có \( – x < 0\) suy ra \(f\left( { – x} \right) = – 1\), \(f\left( x \right) = 1 \Rightarrow f\left( { – x} \right) = – f\left( x \right)\)

Với mọi \(x < 0\) ta có \( – x > 0\) suy ra \(f\left( { – x} \right) = 1;\,\,f\left( x \right) = – 1 \Rightarrow f\left( { – x} \right) = – f\left( x \right)\)

Và \(f\left( { – 0} \right) = – f\left( 0 \right) = 0\)

Do đó với mọi \(x \in R\)ta có \(f\left( { – x} \right) = – f\left( x \right)\)
Vậy hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} – 1\,\,khi\,\,x < 0\\0\,\,khi\,\,x = 0\\1\,\,khi\,\,x > 0\end{array} \right.\)là hàm số lẻ.

Ví dụ 3. Tìm \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} – 2} \right) + \left( {2{m^2} – 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} – m}}\)là hàm số chẵn.

Điều kiện xác định: \(\sqrt {{x^2} + 1} \ne m\)
Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn suy ra \(f\left( { – x} \right) = f\left( x \right)\)với mọi xx thỏa mãn điều kiện \(\sqrt {{x^2} + 1} \ne m\)
Ta có\(f\left( { – x} \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} – 2} \right) – \left( {2{m^2} – 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} – m}}\)
Suy ra \(f\left( { – x} \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} – 2} \right) – \left( {2{m^2} – 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} – m}} = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} – 2} \right) + \left( {2{m^2} – 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} – m}} \Leftrightarrow 2\left( {2{m^2} – 2} \right)x = 0\) với mọi \(x\) thỏa mãn điều kiện xác định \( \Leftrightarrow 2{m^2} – 2 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1\).

+ Với \(m = 1\) ta có hàm số là \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} – 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} – 1}}\)
Điều kiện xác định: \(\sqrt {{x^2} + 1} \ne 1 \Leftrightarrow x \ne 0\)
Suy ra tập xác định của hàm số là: \(D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\)
Dễ thấy với mọi \(x \in R\backslash \left\{ 0 \right\}\) ta có \( – x \in R\backslash \left\{ 0 \right\}\) và \(f\left( { – x} \right) = f\left( x \right)\)
Do đó \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} – 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} – 1}}\) là hàm số chẵn.
+ Với \(m = – 1\) ta có hàm số là \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} – 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} + 1}}\)
Tập xác định của hàm số \(D = R\)
Dễ thấy với mọi \(x \in R\) ta có \( – x \in R\) và \(f\left( { – x} \right) = f\left( x \right)\)
Do đó \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} – 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} + 1}}\) là hàm số chẵn.
Vậy \(m = \pm 1\) là giá trị cần tìm.

Xét tính chẵn lẻ của hàm số
5 (100%) 1 vote

BÌNH LUẬN

Please enter your comment!
Please enter your name here