Bài viết cách tìm tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit, đây là dạng toán cơ bản trong chương trình Giải tích 12. Muốn giải được những bài toán liên quan đến hàm số mũ, logarit chính xác nhất thì bước đầu tiên luôn luôn phải tìm đó là tìm tập xác định của hàm số mũ.

Phương pháp tìm tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit

Tập xác định của hàm số $y = f(x)$ là tập các giá trị $x \in R$ sao cho tồn tại $f(x) \in R.$

Tìm tập xác định của hàm số mũ

Hàm số mũ $y = {a^{\varphi (x)}}$ xác định khi:
+ Nếu $a > 0$ và $\varphi (x)$ xác định.
+ Nếu $a = 0$ thì $\varphi (x) \ne 0.$
+ Nếu $a < 0$ thì $\varphi (x) \in Z.$ Hàm số $y = {(f(x))^{g(x)}}$ xác định $\leftrightarrow$ ${f(x) > 0}$

Tìm tập xác định của hàm số logarit

Hàm số logarit $y = {\log _a}\varphi (x)$ xác định khi $a > 0$ , $a \ne 1$ và $\varphi (x)$ xác định, $\varphi (x) > 0.$
Hàm số $y = {\log _a}f(x)$ xác định $\leftrightarrow$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f(x) > 0}\\ {0 < g(x) \ne 1} \end{array}} \right.$ Hàm số $y = {(f(x))^{g(x)}}$ xác định $\leftrightarrow$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f(x) > 0}\\ {0 < g(x) \ne 1} \end{array}} \right.$
Trong trường hợp có mẫu số thì phải có điều kiện mẫu số xác định và khác $0$ , nếu có biểu thức chứa ẩn số trong dấu căn bậc chẵn, biểu thức phải xác định và không âm.

Ví dụ tìm tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt {{{\log }_2}(3x + 4)} .$
Lời giải:
Hàm số xác định khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3x + 4 > 0}\\ {{{\log }_2}(3x + 4) \ge 0} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3x + 4 > 0}\\ {3x + 4 \ge 1} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow 3x + 3 \ge 0$ $\Leftrightarrow x \ge - 1.$
Vậy tập xác định $D = [ - 1, + \infty ).$

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số:
a) $y = \sqrt {16 - {x^2}} {\log _2}\left( {{x^2} - 5x + 6} \right).$
b) $y = \sqrt {{x^2} - 25} + \log \left( {42 + x - {x^2}} \right).$
Lời giải:
a) Hàm số xác định khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {16 - {x^2} \ge 0}\\ {{x^2} - 5x + 6 > 0} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - 4 \le x \le 4}\\ {x < 2\:{\rm{hoặc}}\:x > 3} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - 4 \le x < 2}\\ {3 < x \le 4} \end{array}} \right.$ Vậy $D = [ - 4,2) \cup (3,4].$ b) Tương tự, ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 25 \ge 0}\\ {42 + x - {x^2} > 0} \end{array}} \right.$
Vậy $D = ( - 6, - 5| \cup [5,7).$

Ví dụ 3: Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số: $y = \sqrt {{{\log }_2}\left( {7 - 2x - {x^2}} \right)} .$
Lời giải:
Hàm số xác định khi: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {7 - 2x - {x^2} > 0}\\ {{{\log }_2}\left( {7 - 2x - {x^2}} \right) \ge 0} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow 7 - 2x - {x^2} \ge 1$ ${x^2} + 2x - 6 \le 0$ $\Leftrightarrow - 1 - \sqrt 7 \le x \le - 1 + \sqrt 7 .$
Vậy tập xác định là $D = \left[ { - 1 - \sqrt 7 , - 1 + \sqrt 7 } \right].$
Ta có $\forall x \in D$ : ${\log _2}\left( {7 - 2x - {x^2}} \right) \ge 0$ $\Rightarrow y \ge 0.$
Vậy tập giá trị của hàm số là $[0, + \infty ).$

Ví dụ 4: Tìm tập xác định của các hàm số:
a) $y = \sqrt {{{\log }_{\frac{1}{3}}}(x - 3) - 1} .$
b) $y = \sqrt {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\frac{{x - 1}}{{x + 5}}} .$
c) $y = \sqrt {{{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( {{{\log }_5}\frac{{{x^2} + 1}}{{x + 3}}} \right)} .$
Lời giải:
a) Hàm số xác định khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x - 3 > 0}\\ {{{\log }_{\frac{1}{3}}}(x - 3) - 1 \ge 0} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x > 3}\\ {x - 3 \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow 3 < x \le \frac{{10}}{3}} \end{array}} \right.$ Vậy $D = \left( {3,\frac{{10}}{3}} \right].$ b) Lập điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{x - 1}}{{x + 5}} > 0}\\ {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\frac{{x - 1}}{{x + 5}} \ge 0} \end{array}} \right.$
Giải hệ ta có $x > 1.$
Vậy $D = (1, + \infty ).$
c) Hàm số xác định khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( {{{\log }_5}\frac{{{x^2} + 1}}{{x + 3}}} \right) \ge 0}\\ {{{\log }_5}\frac{{{x^2} + 1}}{{x + 3}} > 0}\\ {\frac{{{x^2} + 1}}{{x + 3}} > 0} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow 1 < \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 3}} \le 5$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{x^2} - 5x - 14}}{{x + 3}} \le 0}\\ {\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x + 3}} > 0} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x < - 3\:{\rm{ hoặc}}\: - 2 \le x \le 7}\\ { - 3 < x < - 1\:{\rm{ hoặc }}\:x > 2} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { - 2 \le x < - 1}\\ {2 < x \le 7} \end{array}} \right.$ Vậy tập xác định là $D = [ - 2, - 1) \cup (2,7].$ Ví dụ 5: Tìm tập xác định của các hàm số: a) $y = {\log _2}\sqrt {\frac{{x - 3}}{{x + 1}}} .$ b) $y = \sqrt {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\frac{{x - 1}}{{x + 5}}} - {\log _2}\sqrt {{x^2} - x - 6} .$ c) $y = {\log _3}\frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x - 2}}.$ Lời giải: a) Lập điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ne - 1}\\ {\frac{{x - 3}}{{x + 1}} > 0} \end{array}} \right.$
Suy ra $D = ( - \infty , - 1) \cup (3, + \infty ).$
b) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\frac{{x - 1}}{{x + 5}} \ge 0}\\ {{x^2} - x - 6 > 0} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0 < \frac{{x - 1}}{{x + 5}} \le 1}\\ {x < - 2\: {\rm{hoặc}}\:x > 3} \end{array}} \right.$
Suy ra $D = (3, + \infty ).$
c) $\frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x - 2}} > 0.$
Suy ra $D = ( - 3, - 1) \cup (2, + \infty ).$

Ví dụ 5: Tìm tập xác định của hàm số: $y = \log \left( { - {x^2} + 3x + 4} \right)$ $+ \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - x - 6} }}.$
Lời giải:
Hàm số xác định khi: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - {x^2} + 3x + 4 > 0}\\ {{x^2} - x - 6 > 0} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - 1 < x < 4}\\ {x < - 2\:{\rm{hoặc}}\:x > 3} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow 3 < x < 4.$ Tập xác định của hàm số là $D = (3;4).$ Ví dụ 7: Tìm miền xác định của hàm số: $y = \sqrt {{{\log }_3}\left( {\sqrt {{x^2} - 3x + 2} + 4 - x} \right)} .$ Lời giải: Hàm số xác định khi: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 3x + 2 \ge 0}\\ {\sqrt {{x^2} - 3x + 2} + 4 - x \ge 1} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \le 1\:{\rm{hoặc}}\:x \ge 2}\\ {\sqrt {{x^2} - 3x + 2} \ge x - 3} \end{array}} \right.$ Giải ${\sqrt {{x^2} - 3x + 2} \ge x - 3}$ , ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 3x + 2 \ge 0}\\ {x \le 3} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \le 1}\\ {2 \le x \le 3} \end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ge 3}\\ {{x^2} - 3x + 2 \ge {{(x - 3)}^2}} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ge 3}\\ {3x \ge 7} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow x \ge 3.$ Suy ra $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \le 1}\\ {x \ge 2} \end{array}} \right.$ Vậy $D = ( - \infty ,1] \cup [2, + \infty ).$ Ví dụ 8: Tìm tập xác định của hàm số: $y = {2^{\sqrt {\left| {x - 3} \right| - |8 - x|} }}$ $+ \sqrt {\frac{{ - {{\log }_{0,3}}(x - 1)}}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 8} }}} .$ Lời giải: Hàm số xác định khi: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {|x - 3| - |8 - x| \ge 0}\\ {x - 1 > 0}\\ {{{\log }_{0,3}}(x - 1) \le 0}\\ {{x^2} - 2x - 8 > 0} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{(x - 3)}^2} \ge {{(8 - x)}^2}}\\ {x > 1}\\ {x - 1 \ge 1}\\ {x < - 2\:{\rm{hoặc}}\:x > 4} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow x \ge \frac{{11}}{2}.$
Vậy $D = \left[ {\frac{{11}}{2}, + \infty } \right).$

Ví dụ 6: Tìm tập xác định của hàm số: $y = \sqrt {{{\log }_3}\left( {\frac{{1 + \log _a^2x}}{{1 + {{\log }_a}x}}} \right)} .$
Lời giải:
Hàm số xác định khi:
${\log _3}\left( {\frac{{1 + \log _a^2x}}{{1 + {{\log }_a}x}}} \right) \ge 0$ $\Leftrightarrow \frac{{1 + \log _a^2x}}{{1 + {{\log }_a}x}} \ge 1$ $\Leftrightarrow \frac{{\log _a^2x - {{\log }_a}x}}{{1 + {{\log }_a}x}} \ge 0$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\log }_a}x \ge 1}\\ { - 1 < {{\log }_a}x \le 0} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x \ge a\\ \frac{1}{a} < x \le 1 \end{array} \right.\:{\rm{nếu}}\:a > 1\\ \left\{ \begin{array}{l} 0 < x \le a\\ 1 \le x < \frac{1}{a} \end{array} \right.\:{\rm{nếu}}\:0 < a < 1 \end{array} \right.$ Vậy: + Với $a>1$ : $D = \left( {\frac{1}{a},1} \right] \cup [a, + \infty ).$
+ Với $0<a<1$ : $D = \left( {0,{\rm{ }}a} \right] \cup \left[ {1,\frac{1}{a}} \right).$ Ví dụ 10: Tìm các giá trị của m để hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {{{\log }_3}\left( {{x^2} - 2x + 3m} \right)} }}$ xác định $\forall x \in R.$ Lời giải: Hàm số xác định $\forall x \in R$ khi ${\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 3m} \right) > 0$ $\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 3m > 1$ $\Leftrightarrow \quad {x^2} - 2x + 3m - 1 > 0$ $\forall x \in R.$
Vì $a = 1 > 0$ nên $\Delta ' < 0$ $\Leftrightarrow 1 - (3m - 1) < 0$ $\Leftrightarrow m > \frac{2}{3}.$
Với $m > \frac{2}{3}$ , hàm số đã cho xác định $\forall x \in R.$

Ví dụ 7: Cho hàm số $y = \frac{{\sqrt {mx - m + 1} }}{{\log \left[ {(m - 1)x - m + 3} \right]}}.$
a) Tìm tập xác định của hàm số khi $m = 2.$
b) Tìm các giá trị của $m$ sao cho hàm số xác định $\forall x \ge 1.$
Lời giải:
a) Với $m = 2$ ta có $y = \frac{{\sqrt {2x - 1} }}{{\log (x + 1)}}$ xác định khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x \ge \frac{1}{2}}\\ {x + 1 > 0}\\ {x + 1 \ne 1} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}.$
Vậy $D = \left[ {\frac{1}{2}, + \infty } \right).$
b) Hàm số xác định với mọi $x \ge 1$ khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { mx - m + 1 \ge 0\:(1)}\\ {(m - 1)x - m + 3 > 0\:(2)}\\ {(m - 1)x - m + 3 \ne 1\:(3)} \end{array}} \right.$ $\forall x \ge 1.$
Giải bất phương trình, ta có:
$(1) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m = 0}\\ {x \in R} \end{array}} \right.}\\ {m > 0}\\ {x \ge \frac{{m - 1}}{m} = 1 - \frac{1}{m}} \end{array}} \right.$
$(1)$ có tập nghiệm là:
+ Nếu $m = 0$ thì ${s_1} = R.$
+ Nếu $m > 0$ thì ${s_1} = \left[ {\frac{{m - 1}}{m}, + \infty } \right).$
Nếu $m = 1$ thì $(2)$ và $(3)$ đều thỏa mãn điều kiện.
Nếu $m < 1$ thì $(2)$ không thỏa $\forall x \ge 1.$ Nếu $m > 1$ thì $(2) \Leftrightarrow x > \frac{{m - 3}}{{m - 1}}.$
Vì $\frac{{m - 3}}{{m - 1}} < 1$ , $\forall m > 1$ nên $(2)$ thỏa $\forall x \ge 1.$
Với $m > 1$ thì $(3) \Leftrightarrow x \ne \frac{{m - 2}}{{m - 1}}$ thỏa $\forall x \ge 1.$
Đáp số: $m \ge 1.$
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!