Phương trình tiếp tuyến: viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm, viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng, viết phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng…

Viết phương trình tiếp tuyến

Bài tập về phương trình tiếp tuyến được chia thành 3 dạng cơ bản là:

Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M
Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước
Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số

Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm $M(x_{0},y_{0})$ có dạng:

$y=f^{'}(x_{0})(x-x_{0})+y_{0}$ (1)

Trong đó $f^{'}(x_{0})$ là đạo hàm của hàm số tại điểm $x_{0}$ .

$x_{0}; y_{0}$ là hoành độ, tung độ của tiếp điểm M.

Như vậy với bài tập yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến thì ta phải tìm 3 đại lượng, là: $f'(x_{0}); x_{0} và y_{0}$ .

Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm cho trước $M(x_{0},y_{0})$

Cách làm: Bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm $M(x_{0},y_{0})$ thì công việc cần làm là tìm $f'(x_{0}); x_{0} và y_{0}$ , trong đó $x_{0}, y_{0}$ chính là tọa độ của điểm M, vì vậy chỉ cần tính $f'(x_{0})$ , rồi thay vào phương trình (1) là xong.

Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm

Cho đồ thị hàm số y=f(x), viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua A(a,b)

Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến:

Gọi phương trình tiếp tuyến của $\Delta$ có dạng: $y = f'x_{0}(x - x_{0}) + y_{0}$ (2)

Và có tiếp điểm $M_{0}(x_{0},y_{0})$

Vì A(a,b) thuộc tiếp tuyến nên thay tọa độ A vào phương trình ta có:

$b = f'_{x_{0}} (a - x_{0}) + f_{x_{0}}$ với $f_{x_{0}} = y_{0}$

Phương trình này chỉ chứa ẩn $x_{0}$ , do đó chỉ cần giải phương trình trên để tìm $x_{0}$ .

Sau đó sẽ tìm được $f'x_{0} và y_{0}$ .

Tới đây phương trình tiếp tuyến của chúng ta đã tìm được.

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k

Để viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị (C) y = f(x) khi hệ số góc k ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Tính đạo hàm f’(x)

Bước 2: Giải phương trình f’(x) = k để tìm hoành độ $x_{0}$ của tiếp điểm. Từ đây suy ra tọa độ điểm $M_{0}(x_{0}; y_{0})$ với $y_{0} = f(x_{0})$

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ tại tiếp điểm $M_{0}(x_{0}; y_{0})$ :

$y = f'(x_{0})(x - x_{0}) + y_{0}$

Chú ý: Tính chất của hệ số góc k của tiếp tuyến

Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì k = a
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì $k=-\frac{1}{a}$

Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b nên tiếp tuyến có hệ số góc k=a.
Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua tiếp điểm $M(x_{_{0}}, y_{0})$ là $y=a(x-x_{0})+y_{0}$

Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình y=ax+b nên tiếp tuyến có hệ số góc $k=-\frac{1}{a}$

Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua tiếp điểm $M(x_{_{0}}, y_{0})$ là $-\frac{1}{a}(x-x_{0})+y_{0}$

Ví dụ viết phương trình tiếp tuyến

Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A (-1; 4).

Lời giải:

(d) là tiếp tuyến của (C) tại $M(x_0;y_0)$
$\Rightarrow (d): (y-y_0)=y'(x_0)(x-x_0)$
$\Rightarrow (d): y=\frac{3}{(x_0+1)^2}(x-x_0)+\frac{2x_0-1}{x_0+1}$
(d) qua A $\Leftrightarrow \frac{3}{(x_0+1)^2}(-1-x^0)+\frac{2x_0-1}{x_0+1}=4$
$\Leftrightarrow -3+2x_0-1=4x_0+4\Leftrightarrow 2x_0=-8$
$\Leftrightarrow x_0=-4\Rightarrow y_0=3;y'(-4)=\frac{1}{3}$
Vậy $(d): y=\frac{1}{3}(x+4)+3=\frac{1}{3}x+\frac{13}{3}$
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!