Tổng hợp đầy đủ công thức lượng giác cơ bản và nâng cao

Công thức lượng giác cơ bản là các công thức lượng giác cần nhớ. Bài viết này tổng hợp các công thức lượng giác cơ bản, các công thức lượng giác đặc biệt…
Công thức lượng giác cơ bản

Tính chất tuần hoàn

    \[\begin{array}{l} sin\alpha = sin(\alpha + 2k\Pi )\\ cos\alpha = cos(\alpha + 2k\Pi )\\ tan\alpha = tan(\alpha + k\Pi )\\ cot\alpha = cot(\alpha + k\Pi ) \end{array}\]

Công thức lượng giác các cung liên quan đặc biệt

Hai cung đối nhau

    \[\begin{array}{l} cos( - \alpha ) = cos\alpha \\ sin( - \alpha ) = - sin\alpha \\ tan( - \alpha ) = - tan\alpha \\ cot( - \alpha ) = - cot\alpha \end{array}\]

Hai cung bù nhau

    \[\begin{array}{l} cos(\Pi - \alpha ) = - cos\alpha \\ sin(\Pi - \alpha ) = sin\alpha \\ tan(\Pi - \alpha ) = - tan\alpha \\ cot(\Pi - \alpha ) = - cot\alpha \end{array}\]

Hai cung bù nhau

    \[\begin{array}{l} cos(\frac{\Pi }{2} - \alpha ) = sin\alpha \\ sin(\frac{\Pi }{2} - \alpha ) = cos\alpha \\ tan(\frac{\Pi }{2} - \alpha ) = cot\alpha \\ cot(\frac{\Pi }{2} - \alpha ) = tan\alpha \end{array}\]

Hai cung hơn kém π

    \[\begin{array}{l} cos(\Pi + \alpha ) = - cos\alpha \\ sin(\Pi + \alpha ) = - sin\alpha \\ tan(\Pi + \alpha ) = tan\alpha \\ cot(\Pi + \alpha ) = cot\alpha \end{array}\]

Hai cung hơn kém π/2

    \[\begin{array}{l} cos(\frac{\Pi }{2} + \alpha ) = - sin\alpha \\ sin(\frac{\Pi }{2} + \alpha ) = cos\alpha \\ tan(\frac{\Pi }{2} + \alpha ) = - cot\alpha \\ cot(\frac{\Pi }{2} + \alpha ) = - tan\alpha \end{array}\]

Công thức lượng giác cơ bản

    \[\begin{array}{l} si{n^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1\\ tan\alpha = \frac{{sin\alpha }}{{cos\alpha }}\\ cot\alpha = \frac{{cos\alpha }}{{sin\alpha }}\\ 1 + ta{n^2}\alpha = \frac{1}{{co{s^2}\alpha }}\\ 1 + co{t^2}\alpha = \frac{1}{{si{n^2}\alpha }}\\ tan\alpha cot\alpha = 1 \end{array}\]

Công thức cộng

    \[\begin{array}{l} cos(\alpha - \beta ) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha .sin\beta \\ cos(\alpha + \beta ) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha .sin\beta \\ sin(\alpha + \beta ) = sin\alpha cos\beta + sin\beta cos\alpha \\ sin(\alpha - \beta ) = sin\alpha cos\beta - sin\beta cos\alpha \\ tan(\alpha + \beta ) = \frac{{tan\alpha + tan\beta }}{{1 - tan\alpha tan\beta }}\\ tan(\alpha - \beta ) = \frac{{tan\alpha - tan\beta }}{{1 + tan\alpha tan\beta }} \end{array}\]

Công thức nhân đôi

    \[\begin{array}{l} sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha \\ cos2\alpha = co{s^2}\alpha - si{n^2}\alpha \\ tan2\alpha = \frac{{2tan\alpha }}{{1 - ta{n^2}\alpha }}(\alpha \ne \frac{\Pi }{4} + 2k\Pi )\\ cot2\alpha = \frac{{co{t^2}\alpha - 1}}{{2cot\alpha }}(\alpha \ne \frac{{k\Pi }}{2}) \end{array}\]

Công thức nhân ba

    \[\begin{array}{l} sin3\alpha = 3sin\alpha - 4si{n^3}\alpha \\ cos3\alpha = 4co{s^3}\alpha - 3cos\alpha \\ tan3\alpha = \frac{{3tan\alpha - ta{n^3}\alpha }}{{1 - 3ta{n^2}\alpha }}(\alpha \ne \frac{\Pi }{6} + 2k\Pi )\\ cot3\alpha = \frac{{3co{t^2}\alpha - 1}}{{co{t^3}\alpha - 3cot\alpha }}(\alpha \ne \frac{{k\Pi }}{3}) \end{array}\]

Công thức biến đổi tích thành tổng

    \[\begin{array}{l} cos\alpha cos\beta = \frac{1}{2}[cos(\alpha - \beta ) + cos(\alpha + \beta )]\\ sin\alpha .sin\beta = \frac{1}{2}[cos(\alpha - \beta ) - cos(\alpha + \beta )]\\ sin\alpha cos\beta = \frac{1}{2}[sin(\alpha + \beta ) + sin(\alpha - \beta )] \end{array}\]

Công thức biến đổi tổng thành tích

    \[\begin{array}{l} cos\alpha + cos\beta = 2cos\frac{{\alpha + \beta }}{2}cos\frac{{\alpha - \beta }}{2}\\ cos\alpha - cos\beta = - 2sin\frac{{\alpha + \beta }}{2}sin\frac{{\alpha - \beta }}{2}\\ sin\alpha + sin\beta = 2sin\frac{{\alpha + \beta }}{2}cos\frac{{\alpha - \beta }}{2}\\ sin\alpha - sin\beta = 2cos\frac{{\alpha + \beta }}{2}sin\frac{{\alpha - \beta }}{2}\\ cos\alpha + sin\alpha = \sqrt 2 cos(\frac{\Pi }{4} - \alpha ) = \sqrt 2 sin(\frac{\Pi }{4} + \alpha )\\ cos\alpha - sin\alpha = \sqrt 2 cos(\frac{\Pi }{4} + \alpha ) = \sqrt 2 sin(\frac{\Pi }{4} - \alpha )\\ tan\alpha + tan\beta = \frac{{sin(\alpha + \beta )}}{{cos\alpha cos\beta }}\\ tan\alpha - tan\beta = \frac{{sin(\alpha + \beta )}}{{cos\alpha cos\beta }}\\ cot\alpha + cot\beta = \frac{{sin(\alpha + \beta )}}{{sin\alpha sin\beta }}\\ cot\alpha - cot\beta = \frac{{sin(\alpha - \beta )}}{{sin\alpha sin\beta }}\\ cot\alpha + tan\alpha = \frac{2}{{sin2\alpha }}\\ cot\alpha - tan\alpha = 2cot2\alpha \end{array}\]

Công thức hạ bậc

    \[\begin{array}{l} co{s^2}\alpha = \frac{{1 + cos2\alpha }}{2}\\ si{n^2}\alpha = \frac{{1 - cos2\alpha }}{2}\\ ta{n^2}\alpha = \frac{{1 - cos2\alpha }}{{1 + cos2\alpha }}\\ si{n^2}\alpha co{s^2}\alpha = \frac{{1 - cos4\alpha }}{8} \end{array}\]

    \[\begin{array}{l} co{s^3}\alpha = \frac{{3cos\alpha + cos3\alpha }}{4}\\ si{n^3}\alpha = \frac{{3sin\alpha - sin3\alpha }}{4} \end{array}\]

    \[\begin{array}{l} co{s^4}\alpha = \frac{{cos4\alpha + 4cos2\alpha + 3}}{8}\\ si{n^4}\alpha = \frac{{cos4\alpha - 4cos2\alpha + 3}}{8} \end{array}\]

Công thức biến đổi theo tan(a/2)

Đặt:

    \[t = tan\frac{\alpha }{2}(\alpha \ne \frac{\Pi }{2} + k\Pi ,\frac{\alpha }{2} \ne \frac{\Pi }{4})\]

Ta có:

    \[\begin{array}{l} cos\alpha = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\\ sin\alpha = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\\ tan\alpha = \frac{{2t}}{{1 - {t^2}}} \end{array}\]

Trên đây là toàn bộ công thức lượng giác cơ bản và mở rộng hay gặp nhất ở trong các bài thi môn Toán, chúng được vận dụng tối ưu ở hầu hết các dạng đề thi như đề thi thử, thi học sinh giỏi, thi hết môn, thi cuối kì và đặc biệt ở trong Kỳ thi THPT Quốc gia sắp tới. Hi vọng với những công thức mà các thầy cô vừa chọn lọc và cung cấp trên đây sẽ đem lại nhiều kiến thức bổ ích cho tất cả các em học sinh, để từ đó các em có cơ sở và vận dụng kiến thức lượng giác thật tốt cho bài thi của mình.
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!

5/5 - (1 bình chọn)
Mình là Nguyễn Mỹ Lệ - là tác giả các bài viết trong chuyên mục sổ tay Toán học - Vật lý - Hóa học. Mong rằng các bài viết của mình được các bạn đón nhận nồng nhiệt.

Related Posts

Chuyên đề số chính phương

Chuyên đề số chính phương

Chuyên đề số chính phương: số chính phương là số gì, định nghĩa số chính phương, tính chất số chính phương, một số dạng bài tập về…

Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne)

Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức

Bài viết lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức bao gồm: Cách chia đa thức cho đa thức bằng lược đồ Hoocne, bài…

Các hàng đẳng thức

Nhị thức Newton, cách khai triển và một số dạng bài tập áp dụng

Bài viết nhị thức Newton bao gồm: nhị thức Newton cơ bản, khai triển nhị thức Newton, tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton, nhị…

Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Những hằng đẳng thức đáng nhớ, hằng đẳng thức mở rộng và dạng toán áp dụng

Bài viết những hằng đẳng thức đáng nhớ bao gồm: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, các hằng đẳng thức mở rộng, các hằng đẳng thức tổng…

Hàm số liên tục và bài toán xét tính liên tục của hàm số

Bài viết hàm số liên tục bao gồm: định lý và định nghĩa về hàm số liên tục, xét tính liên tục của hàm số, bài tập…

Cách tìm tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit

Bài viết cách tìm tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit, đây là dạng toán cơ bản trong chương trình Giải tích 12….