Tổng hợp đầy đủ công thức lượng giác cơ bản và nâng cao

Công thức lượng giác cơ bản là các công thức lượng giác cần nhớ. Bài viết này tổng hợp các công thức lượng giác cơ bản, các công thức lượng giác đặc biệt…
Công thức lượng giác cơ bản

Tính chất tuần hoàn

    \[\begin{array}{l} sin\alpha = sin(\alpha + 2k\Pi )\\ cos\alpha = cos(\alpha + 2k\Pi )\\ tan\alpha = tan(\alpha + k\Pi )\\ cot\alpha = cot(\alpha + k\Pi ) \end{array}\]

Công thức lượng giác các cung liên quan đặc biệt

Hai cung đối nhau

    \[\begin{array}{l} cos( - \alpha ) = cos\alpha \\ sin( - \alpha ) = - sin\alpha \\ tan( - \alpha ) = - tan\alpha \\ cot( - \alpha ) = - cot\alpha \end{array}\]

Hai cung bù nhau

    \[\begin{array}{l} cos(\Pi - \alpha ) = - cos\alpha \\ sin(\Pi - \alpha ) = sin\alpha \\ tan(\Pi - \alpha ) = - tan\alpha \\ cot(\Pi - \alpha ) = - cot\alpha \end{array}\]

Hai cung bù nhau

    \[\begin{array}{l} cos(\frac{\Pi }{2} - \alpha ) = sin\alpha \\ sin(\frac{\Pi }{2} - \alpha ) = cos\alpha \\ tan(\frac{\Pi }{2} - \alpha ) = cot\alpha \\ cot(\frac{\Pi }{2} - \alpha ) = tan\alpha \end{array}\]

Hai cung hơn kém π

    \[\begin{array}{l} cos(\Pi + \alpha ) = - cos\alpha \\ sin(\Pi + \alpha ) = - sin\alpha \\ tan(\Pi + \alpha ) = tan\alpha \\ cot(\Pi + \alpha ) = cot\alpha \end{array}\]

Hai cung hơn kém π/2

    \[\begin{array}{l} cos(\frac{\Pi }{2} + \alpha ) = - sin\alpha \\ sin(\frac{\Pi }{2} + \alpha ) = cos\alpha \\ tan(\frac{\Pi }{2} + \alpha ) = - cot\alpha \\ cot(\frac{\Pi }{2} + \alpha ) = - tan\alpha \end{array}\]

Xem thêm : Vòng tròn lượng giác cơ bản và hướng dẫn sử dụng chi tiết

Công thức lượng giác cơ bản

    \[\begin{array}{l} si{n^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1\\ tan\alpha = \frac{{sin\alpha }}{{cos\alpha }}\\ cot\alpha = \frac{{cos\alpha }}{{sin\alpha }}\\ 1 + ta{n^2}\alpha = \frac{1}{{co{s^2}\alpha }}\\ 1 + co{t^2}\alpha = \frac{1}{{si{n^2}\alpha }}\\ tan\alpha cot\alpha = 1 \end{array}\]

Công thức cộng

    \[\begin{array}{l} cos(\alpha - \beta ) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha .sin\beta \\ cos(\alpha + \beta ) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha .sin\beta \\ sin(\alpha + \beta ) = sin\alpha cos\beta + sin\beta cos\alpha \\ sin(\alpha - \beta ) = sin\alpha cos\beta - sin\beta cos\alpha \\ tan(\alpha + \beta ) = \frac{{tan\alpha + tan\beta }}{{1 - tan\alpha tan\beta }}\\ tan(\alpha - \beta ) = \frac{{tan\alpha - tan\beta }}{{1 + tan\alpha tan\beta }} \end{array}\]

Công thức nhân đôi

    \[\begin{array}{l} sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha \\ cos2\alpha = co{s^2}\alpha - si{n^2}\alpha \\ tan2\alpha = \frac{{2tan\alpha }}{{1 - ta{n^2}\alpha }}(\alpha \ne \frac{\Pi }{4} + 2k\Pi )\\ cot2\alpha = \frac{{co{t^2}\alpha - 1}}{{2cot\alpha }}(\alpha \ne \frac{{k\Pi }}{2}) \end{array}\]

Xem thêm : Công thức đạo hàm lượng giác đầy đủ và ví dụ áp dụng

Công thức nhân ba

    \[\begin{array}{l} sin3\alpha = 3sin\alpha - 4si{n^3}\alpha \\ cos3\alpha = 4co{s^3}\alpha - 3cos\alpha \\ tan3\alpha = \frac{{3tan\alpha - ta{n^3}\alpha }}{{1 - 3ta{n^2}\alpha }}(\alpha \ne \frac{\Pi }{6} + 2k\Pi )\\ cot3\alpha = \frac{{3co{t^2}\alpha - 1}}{{co{t^3}\alpha - 3cot\alpha }}(\alpha \ne \frac{{k\Pi }}{3}) \end{array}\]

Công thức biến đổi tích thành tổng

    \[\begin{array}{l} cos\alpha cos\beta = \frac{1}{2}[cos(\alpha - \beta ) + cos(\alpha + \beta )]\\ sin\alpha .sin\beta = \frac{1}{2}[cos(\alpha - \beta ) - cos(\alpha + \beta )]\\ sin\alpha cos\beta = \frac{1}{2}[sin(\alpha + \beta ) + sin(\alpha - \beta )] \end{array}\]

Xem thêm : Công thức lượng giác trong tam giác nâng cao và ví dụ áp dụng

Công thức biến đổi tổng thành tích

    \[\begin{array}{l} cos\alpha + cos\beta = 2cos\frac{{\alpha + \beta }}{2}cos\frac{{\alpha - \beta }}{2}\\ cos\alpha - cos\beta = - 2sin\frac{{\alpha + \beta }}{2}sin\frac{{\alpha - \beta }}{2}\\ sin\alpha + sin\beta = 2sin\frac{{\alpha + \beta }}{2}cos\frac{{\alpha - \beta }}{2}\\ sin\alpha - sin\beta = 2cos\frac{{\alpha + \beta }}{2}sin\frac{{\alpha - \beta }}{2}\\ cos\alpha + sin\alpha = \sqrt 2 cos(\frac{\Pi }{4} - \alpha ) = \sqrt 2 sin(\frac{\Pi }{4} + \alpha )\\ cos\alpha - sin\alpha = \sqrt 2 cos(\frac{\Pi }{4} + \alpha ) = \sqrt 2 sin(\frac{\Pi }{4} - \alpha )\\ tan\alpha + tan\beta = \frac{{sin(\alpha + \beta )}}{{cos\alpha cos\beta }}\\ tan\alpha - tan\beta = \frac{{sin(\alpha + \beta )}}{{cos\alpha cos\beta }}\\ cot\alpha + cot\beta = \frac{{sin(\alpha + \beta )}}{{sin\alpha sin\beta }}\\ cot\alpha - cot\beta = \frac{{sin(\alpha - \beta )}}{{sin\alpha sin\beta }}\\ cot\alpha + tan\alpha = \frac{2}{{sin2\alpha }}\\ cot\alpha - tan\alpha = 2cot2\alpha \end{array}\]

Công thức hạ bậc

    \[\begin{array}{l} co{s^2}\alpha = \frac{{1 + cos2\alpha }}{2}\\ si{n^2}\alpha = \frac{{1 - cos2\alpha }}{2}\\ ta{n^2}\alpha = \frac{{1 - cos2\alpha }}{{1 + cos2\alpha }}\\ si{n^2}\alpha co{s^2}\alpha = \frac{{1 - cos4\alpha }}{8} \end{array}\]

    \[\begin{array}{l} co{s^3}\alpha = \frac{{3cos\alpha + cos3\alpha }}{4}\\ si{n^3}\alpha = \frac{{3sin\alpha - sin3\alpha }}{4} \end{array}\]

    \[\begin{array}{l} co{s^4}\alpha = \frac{{cos4\alpha + 4cos2\alpha + 3}}{8}\\ si{n^4}\alpha = \frac{{cos4\alpha - 4cos2\alpha + 3}}{8} \end{array}\]

Xem thêm : Công thức hạ bậc lượng giác (2 – 3 – 4)

Công thức biến đổi theo tan(a/2)

Đặt:

    \[t = tan\frac{\alpha }{2}(\alpha \ne \frac{\Pi }{2} + k\Pi ,\frac{\alpha }{2} \ne \frac{\Pi }{4})\]

Ta có:

    \[\begin{array}{l} cos\alpha = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\\ sin\alpha = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\\ tan\alpha = \frac{{2t}}{{1 - {t^2}}} \end{array}\]

Xem thêm : Thơ về công thức lượng giác giúp học nhanh các công thức lượng giác
Trên đây là toàn bộ công thức lượng giác cơ bản và mở rộng hay gặp nhất ở trong các bài thi môn Toán, chúng được vận dụng tối ưu ở hầu hết các dạng đề thi như đề thi thử, thi học sinh giỏi, thi hết môn, thi cuối kì và đặc biệt ở trong Kỳ thi THPT Quốc gia sắp tới. Hi vọng với những công thức mà các thầy cô vừa chọn lọc và cung cấp trên đây sẽ đem lại nhiều kiến thức bổ ích cho tất cả các em học sinh, để từ đó các em có cơ sở và vận dụng kiến thức lượng giác thật tốt cho bài thi của mình.
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *