Công thức tích phân: Công thức tích phân cơ bản, công thức tích phân từng phần, tính chất của tích phân, ứng dụng của tích phân…

Định nghĩa tích phân

Cho hàm $f(x)$ liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thì hiệu số $F(b)-F(a)$ được gọi là tích phân của $f(x)$ từ a đến b và ký hiệu là $\int\limits_a^b {f(x)dx} .$

Tính chất của tích phân – Công thức tích phân

Cho các hàm số $f(x),\,g(x)$ liên tục trên K và $a,b,c$ là ba số thuộc K.

$\,\int\limits_a^a {f(x)dx = 0}$
$\int\limits_a^b {f(x)dx = - \int\limits_b^a {f(x)dx} }$
$\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} }$
$\int\limits_a^b {k.f(x)dx = k\int\limits_a^b {f(x)dx} }$
$\int\limits_a^b {[f(x) \pm g(x)]dx = \int\limits_a^b {f(x)dx} \pm \int\limits_a^b {g(x)dx} }$

Một số phương pháp tính tích phân

Phương pháp đổi biến số

Công thức đổi biến số $\int\limits_a^b {f[u(x)]u'(x)dx = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} {f(u)du} }.$ Trong đó $f(x)$ là hàm số liên tục và $u(x)$ có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp $f[u(x)]$ xác định trên J; $a,\,b \in J.$

Các phương pháp đổi biến số thường gặp:

Cách 1: Đặt $u = u(x)$ ( $u$ là một hàm theo $x$ ).
Cách 2: Đặt $x=x(t)$ ( $x$ là một hàm theo $t$ ).

Phương pháp tích phân từng phần

Định lí:

Nếu $u(x),\,v(x)$ là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và $a,b$ là hai số thuộc K thì $\int\limits_a^b {u(x)v'(x)dx} = \left. {u(x)v(x)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v(x)u'(x)dx}.$

Bài tập minh họa áp dụng công thức tích phân

Ví dụ 1:
Áp dụng công thức tính tích phân cơ bản, tính các tích phân sau:

a) $I = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3}}}dx}$

b) $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx}$

Lời giải:
a) $I = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3}}}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)dx} = \left. {\left( {\ln \left| x \right| + \frac{2}{x}} \right)} \right|_1^2$

$= \left( {\ln 2 + 1} \right) - \left( {\ln 1 + 2} \right) = - 1 + \ln 2$

b) $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(1 + \cos 2x)dx = } \left. {\frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}sin2x)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{\pi + 2}}{8}$

Ví dụ 2:
Áp dụng phương pháp đổi biến số, tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}} dx$

b) $I = \int\limits_0^2 {{x^3}\sqrt {{x^2} + 1} dx}$

c) $I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}}$

Lời giải:
a) Đặt: $t = \sqrt {1 + x} \Rightarrow {t^2} = 1 + x \Rightarrow 2tdt = dx$

Đổi cận $x = 0 \Rightarrow t = 1;x = 3 \Rightarrow t = 2$

$\begin{array}{l} \int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx = \int\limits_1^2 {\frac{{{t^2} - 1}}{{t + 1}}} } 2tdt = \int\limits_1^2 {2t(t - 1)dt} \\ = \left. {\left( {\frac{2}{3}{t^3} - {t^2}} \right)} \right|_1^2 = \frac{5}{3} \end{array}$

b) Đặt: $t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} = {t^2} - 1}\\ {xdx = tdt} \end{array}} \right.$

Đổi cận: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 2} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1}\\ {t = \sqrt 5 } \end{array}} \right.$

Vậy: $I = \int\limits_1^{\sqrt 5 } {\left( {{t^2} - 1} \right)t.tdt} = \left( {\frac{{{t^5}}}{5} - \frac{{{t^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 5 }\\ 1 \end{array} = \frac{2}{{15}} + \frac{{10\sqrt 5 }}{3}} \right.$

c) Đặt $x = 2\sin t$ với $t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow dx = 2\cos tdt$

Đổi cận: $x = 0 \Rightarrow t = 0;x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}$

Vậy: $\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos tdt}}{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }} = } } \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos tdt}}{{2\cos t}} = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {dt} = t\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\pi }{6}}\\ 0 \end{array}} \right. = \frac{\pi }{6}$

Ví dụ 3:
Vận dụng phương pháp tính tích phân từng phân, tính các tích phân sau:

a) $I = \int\limits_0^1 {x.{e^{2x}}dx}$

b) $I = \int\limits_1^2 {({x^2} - 1)\ln xdx}$

Lời giải:
a) Đặt: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = x}\\ {dv = {e^{2x}}dx} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = dx}\\ {v = \frac{{{e^{2x}}}}{2}} \end{array}} \right.$

$I = \left. {\frac{{x{e^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}}}}{2}dx} = \left. {\frac{{{e^2}}}{2} - \frac{{{e^{2x}}}}{4}} \right|_0^1 = \frac{{{e^2} + 1}}{4}$ .

b) Đặt: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = \ln x}\\ {dv = \left( {{x^2} - 1} \right)dx} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = \frac{{dx}}{x}}\\ {v = \frac{{{x^3} - 3x}}{3}} \end{array}} \right.} \right.$

$I = \left. {\frac{{\left( {{x^3} - 3x} \right)\ln x}}{3}} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 3}}{3}} dx = \frac{{2\ln 2}}{3} - \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{9} - x} \right)} \right|_1^2$ $= \frac{{2\ln 2}}{3} + \frac{2}{9}$ .
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!