Bài viết phương trình đường thẳng trong không gian bao gồm: các dạng phương trình đường thẳng trong không gian, cách viết phương trình đường thẳng trong không gian, ví dụ bài tập viết phương trình đường thẳng trong không gian…

Các dạng phương trình đường thẳng trong không gian

Bao gồm 2 dạng là phương trình chính tắc và phương trình tham số.

Đường thẳng d đi qua điểm $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ và có vec tơ chỉ phương $\vec{u}=(a,b,c)$ có:

Phương trình tham số

$\left\{\begin{matrix} x = x_{0} + at & \\ y = y_{0} + bt & \\ z = z_{0} + ct & \end{matrix}\right.$

Với $t\in R$

Phương trình chính tắc

$\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}$

Với $abc\neq 0$

Phương trình tổng quát đường thẳng trong không gian

Để viết được phương trình đường thẳng d ta quy d thành giao tuyến của mặt phẳng (P) và (Q). Với

(P): $A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0$

(Q): $A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2} = 0$

Thì phương trình tổng quát của d là:

$\left\{\begin{matrix} A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0 & \\ A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2} = 0 & \end{matrix}\right.$

Khi đó vector chỉ phương của d là $\vec{u_{d}} = \left [ \vec{n_{P}},\vec{n_{Q}}\right ]$

Phương trình đường thẳng Ox trong không gian

Đường thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng Oyz nên nhận véc tơ (1,0,0) của trục Ox làm vector chỉ phương. Mặt khác Ox lại đi qua điểm O (0,0,0) nên phương trình đường thẳng Ox là: $\left\{\begin{matrix} x = t & \\ y = 0 & \\ z = 0 & \end{matrix}\right.$

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Đường thẳng $d$ đi qua $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ và đường thẳng $d'$ đi qua $M'_0(x'_0;y'_0;z'_0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u'}=(a';b';c')$ . Khi đó:
+ $d$ và $d'$ cùng nằm trong một mặt phẳng $\Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right].\overrightarrow{M_0M'_0}=0$ .
+ $d$ và $d'$ cắt nhau $\Leftrightarrow\begin{cases}\left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right].\overrightarrow{M_0M'_0}=0\\ \left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right] \ne\overrightarrow{0} \end{cases}$ .
+ $d \parallel d' \Leftrightarrow\begin{cases}\left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right]=\overrightarrow{0}\\ \left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{M_0M'_0}} \right] \ne\overrightarrow{0} \end{cases}$ .
+ $d \equiv d' \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right]=\left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{M_0M'_0}} \right]=\overrightarrow{0}$
+ $d$ và $d'$ chéo nhau $\Leftrightarrow\left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right]\overrightarrow{M_0M'_0}=\overrightarrow{0}$

Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng

Đường thẳng $d$ đi qua $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ và mặt phẳng $(P) : Ax+By+Cz+D=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$ . Khi đó:
+ $d$ cắt $(P)\Leftrightarrow Aa+Bb+Cc \ne 0$
+ $d \parallel (P)\Leftrightarrow \begin{cases}Aa+Bb+Cc = 0 \\ Ax_0+by_0+Cz_0+D \ne 0 \end{cases}$
+ $d \subset (P)\Leftrightarrow \begin{cases}Aa+Bb+Cc = 0 \\ Ax_0+by_0+Cz_0+D = 0 \end{cases}$
+ $d \perp (P) \Leftrightarrow \overrightarrow{u} \parallel \overrightarrow{n} \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}} \right]=\overrightarrow{0}$

Góc giữa hai đường thẳng

Cho đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ và đường thẳng $d'$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u'}=(a';b';c')$ . Gọi $0^\circ \le\phi \le 90^\circ$ là góc giữa hai đường thẳng đó ta có:
$\cos \phi = \frac{\left| {\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u'}} \right|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{u'}|}=\frac{|aa'+bb'+cc'|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{a'^2+b'^2+c'^2}}$

Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

Cho đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$ . Gọi $0^\circ \le \psi \le 90^\circ$ là góc hợp bởi đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ ta có:
$\sin \psi = \frac{\left| {\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}} \right|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{n}|}=\frac{|Aa+Bb+Cc|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Khoảng cách từ điểm $M_1(x_1;y_1;z_1)$ đến đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$

+ Cách $1:$
– Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ qua $M_1$ và vuông góc với $\Delta$ .
– Tìm tọa độ giao điểm $H$ của $\Delta$ và mặt phẳng $(Q)$ .
– d $(M_1, \Delta)=M_1H$ .
+ Cách $2:$ Sử dụng công thức: d $(M_1, \Delta)=\frac{\left| {\left[ {\overrightarrow{M_1M_0},\overrightarrow{u}} \right]} \right|}{|\overrightarrow{u}|}$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau $\Delta$ đi qua $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ và đường thẳng $\Delta'$ đi qua $M'_0(x'_0;y'_0;z'_0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u'}$ .
+ Cách $1:$
– Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ chứa $\Delta$ và song song với $\Delta'$ .
– Tính khoảng cách từ $M'_0$ tới mặt phẳng $(Q)$ .
– d $(\Delta,\Delta')=$ d $(M'_0,(Q))$ .
+ Cách $2:$ Sử dụng công thức: d $(\Delta,\Delta')=\frac{\left| {\left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right].\overrightarrow{M_0M'_0}} \right|}{\left| {\left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right]} \right|}$ .

Ví dụ bài tập viết phương trình đường thẳng trong không gian

Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm $A\left( {1;2; - 3} \right)$ và song song với giá của vectơ $\overrightarrow u = \left( { - 1;3;5} \right)$ .

Giải

Vì d song song với giá của vectơ $\overrightarrow u$ nên d nhận $\overrightarrow u$ làm vectơ chỉ phương.

d đi qua điểm $A\left( {1;2; - 3} \right)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - 1;3;5} \right)$ nên có phương trình tham số:

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + 3t\\z = - 3 + 5t\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in R} \right)$

Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm $M\left( {1;4; 0} \right)$ , $N\left( {-2;4; 5} \right)$ .

Giải

$\overrightarrow MN = \left( { - 3;0;5} \right)$

Vì d đi qua hai điểm M và N nên vectơ $\overrightarrow {MN}$ có giá trùng với d $\Rightarrow \overrightarrow {MN}$ là vectơ chỉ phương của d.

d đi qua điểm $M\left( {1;4; 0} \right)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow MN = \left( { - 3;0;5} \right)$ nên có phương trình tham số:

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 4\\z = 5t\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in R} \right)$

Ví dụ 3. Cho đường thẳng d có phương trình: $\frac{{x - 2}}{3} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}$ . Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho OM vuông góc với d (với O là góc tọa độ).

Giải

Từ phương trình tham số của d, ta thấy d đi qua điểm $M\left( {2;0; - 1} \right)$ và có VTCP là $\overrightarrow u = \left( {3; - 1;2} \right)$ nên có phương trình tham số là:

$\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = -t\\z = -1+2t\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in R} \right)$

Vì $M \in d \Rightarrow M\left( {2 + 3t; - t; - 1 + 2t} \right)$ .

$\Rightarrow \overrightarrow {OM} = \left( {2 + 3t; - t; - 1 + 2t} \right)$

Vì $OM \bot d \Rightarrow \overrightarrow {OM} \bot \overrightarrow u \Rightarrow \overrightarrow {OM} .\overrightarrow u = 0$

$\Leftrightarrow 3\left( {2 + 3t} \right) + t + 2\left( { - 1 + 2t} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 14t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{-2}{7}$

Vậy $M\left( {\frac{8}{7};\frac{2}{7}; - \frac{{11}}{7}} \right)$

Cách viết phương trình đường thẳng trong không gian

Dạng I: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương

Ví dụ $1.$ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
$d :\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{3}$ và mặt phẳng $P : x - y - z -1 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(1;1;-2)$ , song song với mặt phẳng $(P)$ và vuông góc với đường thẳng $d .$
Lời giải :
Để tìm một VTCP của $\Delta$ ta phải tìm hai VTPT không cùng phương của nó rồi tìm tích có hướng của hai vectơ này.
Như vậy, $\overrightarrow{u_{\Delta}}=\left[ {\overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{P}}}\right]=(2;5;-3)$
Trong đó $\overrightarrow{u_{d}}=(2;1;3);\overrightarrow{n_{P}}=(1;-1;-1)$
$\Delta$ đi qua $A(1;1;-2)$ và có VTCP $\overrightarrow{u_{\Delta}}=(2;5;-3)$ nên có phương trình
$\Delta : \frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+2}{-3}$
Ví dụ $2.$ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
$\Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng $P : x - y - z -1 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M(2;1;0)$ , cắt và vuông góc với $\Delta$ .
Lời giải :
$\overrightarrow{u_{\Delta}}=(2;1; -1)$ . Gọi $H = d \cap \Delta$ .
Do $H \in \Delta$ nên có thể giả sử $H(1+ 2t;-1+ t;-t) \\\Rightarrow \overrightarrow{MH} = (2t -1;t - 2;-t)$ .
$\overrightarrow{MH} \perp \overrightarrow{u_{\Delta}} \Leftrightarrow 2(2t -1) + ( t- 2) - (-t ) = 0 \\\Leftrightarrow t=\frac{2}{3} \Leftrightarrow \overrightarrow{u_{d}} = 3\overrightarrow{MH} = (1;-4;-2)$
$\Rightarrow d : \begin{cases}x=2+t \\ y= 1-4t\\z=-2t\end{cases}$

Dạng II: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác

Ví dụ $1.$ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
$d : \frac{x+1}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-2}{2}$
và mặt phẳng $(P): x + 3y + 2z + 2 = 0$ . Lập phương trình đường thẳng $\Delta$ song song với mặt phẳng $(P),$ đi qua $M(2; 2; 4)$ và cắt đường thẳng $(d).$
Lời giải :
Đường thẳng $(d)$ có PT tham số : $\begin{cases}x=-1+3t \\ y=2-2t\\z=2+2t \end{cases}$ .
Mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\overrightarrow{n} = (1; 3; 2)$
Giả sử $N(-1 + 3t ; 2 - 2t ; 2 + 2t) \in d \\\Rightarrow \overrightarrow{MN}= (3t - 3;-2t;2t - 2)$
Để $MN \parallel (P)$ thì $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n} = 0 \\\Leftrightarrow 1.(-1+3t)+3.(2-2t)+2.(2+2t)=0\\\Leftrightarrow t = 7 \Rightarrow \overrightarrow{MN}= (18;-14;12)$
Do $\Delta \parallel MN$ nên chọn $\overrightarrow{u_{\Delta}}= (9;-7;6)$
Phương trình đường thẳng $\Delta : \frac{x-2}{9}=\frac{y-2}{-7}=\frac{z-4}{6}$

Dạng III: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác

Ví dụ $1.$ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(-4;-5;3)$ và cắt cả hai đường thẳng: $d_1 : \begin{cases}2x+3y+11=0 \\ y-2z+7=0 \end{cases}$ và $d_2 : \frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{-5}$
Lời giải :
Viết lại phương trình các đường thẳng: $d_1: \begin{cases}x=5-3t_1 \\ y=-7+2t_1 \\z=t_1\end{cases} (t_1 \in \mathbb{R}) , \\d_2: \begin{cases}x=2+2t_2 \\ y=-1+3t_2 \\z=1-5t_2\end{cases} (t_2 \in \mathbb{R})$
Gọi $A = d \cap d_1,B = d \cap d_2 \\\Rightarrow A(5 - 3t_1;-7 + 2t_1;t_1) , \\B(2 + 2t_2;-1+ 3t_2;1- 5t_2).$
$\overrightarrow{MA} = (-3t_1 + 9;2t_1 - 2;t_1 - 3), \\\overrightarrow{MB} = (2t_2 + 6;3t_2 + 4;-5t_2 - 2)$
$\left[ {\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}} \right] = (-13t_1t_2 - 8t_1 +13t_2 +16;\\-13t_1t_2 + 39t_2;-13t_1t_2 - 24t_1 + 31t_2 + 48)$
$M, A, B$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}$ cùng phương $\Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}} \right] =\overrightarrow{0}$
$\Rightarrow A(-1;-3;2),B(2;-1;1) \\\Rightarrow \overrightarrow{AB} = (3;2;-1)$
Đường thẳng $d$ qua $M(-4; -5; 3)$ và có VTCP $\overrightarrow{AB} = (3;2;-1)$
$\Rightarrow d: \begin{cases}x=-4-3t \\ y=-5+2t \\z=3-t\end{cases} (t \in \mathbb{R})$

Dạng IV: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách

Ví dụ $1.$ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng $(d): \begin{cases}x=2+4t \\ y=3+2t \\z=-3+t\end{cases}$ và mặt phẳng $(P): -x + y + 2z + 5 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng $(\Delta)$ nằm trong $(P),$ song song với $(d)$ và cách $(d)$ một khoảng là $\sqrt{14}$ .
Lời giải :
Chọn $A(2;3; -3), B(6;5; -2) \in (d),$ mà thấy rằng $A, B \in (P)$ nên $(d) \subset (P) .$
Gọi $\overrightarrow{u}$ là VTCP của $( d_1) \subset (P)$ , qua $A$ và vuông góc với $(d)$ thì $\begin{cases}\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{u_d} \\ \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{u_P} \end{cases}$
nên ta chọn $\overrightarrow{u} = [\overrightarrow{u_d} ,\overrightarrow{u_P} ] = (3;-9;6)$ .
Phương trình của đường thẳng $( d_1) : \begin{cases}x=2+3t \\ y=3-9t \\z=-3+6t\end{cases}$
Lấy $M(2+3t; 3 -9t; -3+6t) \in ( d_1)$ . $(\Delta)$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $(d).$
Theo đề : $AM=\sqrt{14}\Leftrightarrow \sqrt{9t^2+81t^2+36t^2}=\sqrt{14}\\\Leftrightarrow 9t^2=1\Leftrightarrow t=\pm \frac{1}{3}$
Với $t= \frac{1}{3}\Rightarrow M(1;6;-5)\\\Rightarrow (\Delta) :\frac{x-1}{4}=\frac{y-6}{2}=\frac{z+5}{1}$
Với $t= -\frac{1}{3}\Rightarrow M(3;0;-1)\\\Rightarrow (\Delta) :\frac{x-3}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}$
Ví dụ $2.$ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng $(d): \begin{cases}x=2+t \\ y=1-t \\z=1-3t\end{cases}$ và mặt phẳng $(P): x + y -z + 1= 0$ . Gọi $I$ là giao điểm của $d$ và $(P).$ Viết phương trình của đường thẳng $\Delta$ nằm trong $(P)$ , vuông góc với $d$ sao cho khoảng cách từ $I$ đến $\Delta$ bằng $3 \sqrt 2$ .
Lời giải :
$(P)$ có VTPT $\overrightarrow{n_P}= (1;1;-1)$ và $d$ có VTCP $\overrightarrow{u}= (1;-1;-3) .$
$I = d \cap (P)\\\Rightarrow I(x=2+t ; y=1-t ;z=1-3t) \in (P) \\\Rightarrow I(1;2;4)$
Vì $\Delta \subset (P); \Delta \perp d \Rightarrow \Delta$ có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta}}=[\overrightarrow{n_P};\overrightarrow{u}]=(-4;2;-2)$
Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên $\Delta \Rightarrow H \in mp(Q)$ qua $I$ và vuông góc $\Delta$
$\Rightarrow$ Phương trình $(Q): -4(x -1) + 2(y - 2) -2(z - 4) = 0\\\Leftrightarrow -2x + y - z + 4 = 0$
Gọi $d_1 = (P) \cap (Q)\Rightarrow d_1$ có VTCP $\overrightarrow{u_{d_1}}=[\overrightarrow{n_P};\overrightarrow{n_Q}] = (0;3;3) = 3(0;1;1)$ và $d_1$ qua $I\Rightarrow d_1 : \begin{cases}x=1 \\ y=2+t \\z=4+t\end{cases}$
Giả sử $H \in d_1 \Rightarrow H(1;2 + t;4 + t) \Rightarrow\overrightarrow{IH} = (0;t;t)$
Ta có:
$IH=3\sqrt 2 \Leftrightarrow \sqrt{2t^2}=3\sqrt 2\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} t=3\\t=-3 \end{matrix}} \right.$
Với $t=3\Rightarrow H(1;5;7)\\\Rightarrow (\Delta) :\frac{x-1}{-2}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-7}{-1}$
Với $t= -3\Rightarrow M(1;-1;1)\\\Rightarrow (\Delta) :\frac{x-1}{-2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{-1}$
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!