Công thức cấp số cộng nâng cao | Lý thuyết + bài tập ví dụ

Công thức cấp số cộng: công thức tính cấp số cộng, công thức tính tổng cấp số cộng, bài tập cấp số cộng có lời giải…
Công thức cấp số cộng

Định nghĩa cấp số cộng

Cấp số cộng \left\{a_1,a_2,...,a_n\right\} là dãy số xác định bởi:

a_1=a

a_{k+1}=a_k+d  với k=1, 2, .., n – 1

a1 được gọi là số hạng đầu tiên, an là số hạng cuối, ak là số hạng thứ k của cấp số cộng; n được gọi là số số hạng của cấp số cộng ; d được gọi là công sai của cấp số cộng. Sở dĩ có thuật ngữ công sai này là vì

a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = d.

Cấp số cộng còn có thể được đặc trưng bởi đẳng thức ak+1 – 2ak + ak-1 = 0 với mọi k=2, …, n-1.  Hay là ak = 1/2 (ak-1 + ak+1), số ở giữa bằng trung bình cộng hai số đứng cạnh

Ngoài các cấp số cộng có hữu hạn phần tử, người ta còn xét những cấp số cộng có vô hạn phần tử. Ví dụ dãy các bội số dương của 3 là một cấp số cộng có vô hạn phần tử với số hạng đầu là 3 và công sai là 3.

Công thức cấp số cộng

Số hạng tổng quát của cấp số cộng

    \[\begin{array}{l} {u_n} = {u_{n - 1}} + d\\ {u_{n + 1}} = {u_n} + d\\ {u_n} = {u_1} + (n - 1)d \end{array}\]

Trong đó: là số hạng đầu, d là công sai

Tính chất của cấp số cộng

    \[{u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\]

Với:

    \[k \ge 2\]

    \[{u_2} = \frac{{{u_1} + {u_3}}}{2}\]

Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng

    \[\begin{array}{l} {S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{{n({u_1} + {u_n})}}{2}\\ {S_n} = \frac{{n{\rm{[}}2{u_1} + (n - 1)d{\rm{]}}}}{2} \end{array}\]

Các công thức liên quan đến cấp số cộng

Hai bài toán cơ bản liên quan đến dãy số có thể giải khá dễ dàng đối với cấp số cộng. Cụ thể

– Công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng:

ak = a + (k-1)d.

– Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

S_n=a_1+a_2+...+a_n=\frac{\left(a_1+a_n\right)n}{2}=na+\frac{n\left(n-1\right)}{2}d

Ở đây khi chứng minh công thức thứ nhất, ta đã dùng ý tưởng của Gauss (khi ông còn là 1 cậu bé) khi ông tính tổng 1 + 2 + … + 99 + 100 rằng 1 + 100 = 2 + 99 = … = 50 + 51 gồm 50 cặp số, mỗi cặp có tổng bằng 101.

Cuối cùng, cũng cần nhắc đến công thức tính số số hạng của một cấp số cộng khi biết số hạng đầu, số hạng cuối và công sai:

Số số hạng = [(Số hạng đầu – Số hạng cuối): công sai]  + 1

Đây chính là công thức của bài toán trồng cây quen thuộc ở cấp 2!

Bài tập cấp số cộng có lời giải

Ví dụ 1: Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để dãy số a^2,b^2,c^2 lập thành một cấp số cộng có công sai dương là dãy số  \frac{1}{b+c};\frac{1}{c+a};\frac{1}{a+b};là một cấp số cộng.

Bài giải:

Dãy số \frac{1}{b+c};\frac{1}{c+a};\frac{1}{a+b};là một cấp số cộng

\Leftrightarrow\frac{1}{c+a}-\frac{1}{b+c}=\frac{1}{a+b}-\frac{1}{c+a}\Leftrightarrow\frac{b-a}{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}=\frac{c-b}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}
\Leftrightarrow b^2-a^2=c^2-b^2\Leftrightarrow2b^2=a^2+c^2

Vậy a^2,b^2,c^2 lập thành một cấp số cộng.

Ví dụ 2 :

Biết rằng dãy số thực dương a_1;a_2;....a_n là một cấp số cộng, chứng minh hệ thức :

\frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}}+....+\frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_n}}=\frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_n}}\left(1\right)

Bài giải :

Ta có \frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}=\frac{\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}}{\left(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}\right)\left(\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}\right)}=\frac{\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}}{a_2-a_1}=\frac{\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}}{d}

Tương tự \frac{1}{\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}}=\frac{\sqrt{a_3}-\sqrt{a_1}}{d};.......\frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_n}}=\frac{a_n-a_1}{d}

Vế trái của (1) thành :

\frac{\left(\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}\right)+\left(\sqrt{a_3}-\sqrt{a_2}\right)+\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}}\right)}{d}=\frac{\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1}\right)}{d}=\frac{a_n-a_1}{d\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1}\right)}

=\frac{\left(a_1+\left(n-1\right)d\right)-a_1}{d\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1}\right)}=\frac{n-1}{\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1}\right)}

Ví dụ 3 : Cho 2 cấp số cộng

u_n=u_1;u_2;.....u_n có công sai d_1

và v_n=v_1;v_2;.....v_n có công sai d_2

Gọi tổng của n số hạng đầu của mỗi cấp số theo thứ tự là S_n=u_1+u_2+.....+u_n=7n+1 và T_n=v_1+v_2+.....+v_n=4n+27. Tìm tỉ số \frac{u_{11}}{v_{11}}

Bài giải

Ta có S_n=2u_1+\left(n-1\right)d_1 và T_n=2v_1+\left(n-1\right)d_2 nên \frac{S_n}{T_n}=\frac{2u_1+\left(n-1\right)d_1}{2v_1+\left(n-1\right)d_2}=\frac{7n+1}{4n+27}\left(1\right)

\frac{u_{11}}{v_{11}}=\frac{u_1+10d_1}{v_1+10d_2}=\frac{2u_1+20d_1}{2v_1+20d_2}\left(2\right)

So sánh (1) và (2) => n=21 nên \frac{u_{11}}{v_{11}}=\frac{148}{111}=\frac{4}{3}

Mời các bạn xem thêm video bài giản “Cấp số cộng”:

5/5 - (2 bình chọn)
Mình là Nguyễn Mỹ Lệ - là tác giả các bài viết trong chuyên mục sổ tay Toán học - Vật lý - Hóa học. Mong rằng các bài viết của mình được các bạn đón nhận nồng nhiệt.

Related Posts

Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne)

Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức

Bài viết lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức bao gồm: Cách chia đa thức cho đa thức bằng lược đồ Hoocne, bài…

Chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip

Chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip

Chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip và công thức tính chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip. Vẽ qua A1&A2 hai đường…

Ước số là gì - Bội số là gì?

Ước số là gì – Bội số là gì?

Ước số là gì- Bội số là gì? Bài tập về ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất đưa ra một số phương pháp giải…

Công thức tính thể tích hình trụ

Công thức tính thể tích hình trụ – Ví dụ cách tính thể tích hình trụ

Thể tích hình trụ là gì? Công thức tính thể tích hình trụ, cách tính thể tích hình trụ… Công thức tính thể tích hình trụ Thể…

Thể tích hình chóp cụt

Thể tích hình chóp cụt – Công thức và ví dụ

Thể tích hình chóp cụt là gì? Công thức tính thể tích hình chóp cụt, cách tính thể tích hình chóp cụt… Công thức tính thể tích…

Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Những hằng đẳng thức đáng nhớ, hằng đẳng thức mở rộng và dạng toán áp dụng

Bài viết những hằng đẳng thức đáng nhớ bao gồm: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, các hằng đẳng thức mở rộng, các hằng đẳng thức tổng…