Công thức cấp số cộng: công thức tính cấp số cộng, công thức tính tổng cấp số cộng, bài tập cấp số cộng có lời giải…

Định nghĩa cấp số cộng

Cấp số cộng $\left\{a_1,a_2,...,a_n\right\}$ là dãy số xác định bởi:

$a_1=a$

$a_{k+1}=a_k+d$ với k=1, 2, .., n – 1

a1 được gọi là số hạng đầu tiên, an là số hạng cuối, ak là số hạng thứ k của cấp số cộng; n được gọi là số số hạng của cấp số cộng ; d được gọi là công sai của cấp số cộng. Sở dĩ có thuật ngữ công sai này là vì

a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = d.

Cấp số cộng còn có thể được đặc trưng bởi đẳng thức ak+1 – 2ak + ak-1 = 0 với mọi k=2, …, n-1. Hay là ak = 1/2 (ak-1 + ak+1), số ở giữa bằng trung bình cộng hai số đứng cạnh

Ngoài các cấp số cộng có hữu hạn phần tử, người ta còn xét những cấp số cộng có vô hạn phần tử. Ví dụ dãy các bội số dương của 3 là một cấp số cộng có vô hạn phần tử với số hạng đầu là 3 và công sai là 3.

Công thức cấp số cộng

Số hạng tổng quát của cấp số cộng

$\begin{array}{l} {u_n} = {u_{n - 1}} + d\\ {u_{n + 1}} = {u_n} + d\\ {u_n} = {u_1} + (n - 1)d \end{array}$

Trong đó: là số hạng đầu, d là công sai

Tính chất của cấp số cộng

${u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}$

Với:

$k \ge 2$

${u_2} = \frac{{{u_1} + {u_3}}}{2}$

Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng

$\begin{array}{l} {S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{{n({u_1} + {u_n})}}{2}\\ {S_n} = \frac{{n{\rm{[}}2{u_1} + (n - 1)d{\rm{]}}}}{2} \end{array}$

Các công thức liên quan đến cấp số cộng

Hai bài toán cơ bản liên quan đến dãy số có thể giải khá dễ dàng đối với cấp số cộng. Cụ thể

– Công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng:

ak = a + (k-1)d.

– Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

$S_n=a_1+a_2+...+a_n=\frac{\left(a_1+a_n\right)n}{2}=na+\frac{n\left(n-1\right)}{2}d$

Ở đây khi chứng minh công thức thứ nhất, ta đã dùng ý tưởng của Gauss (khi ông còn là 1 cậu bé) khi ông tính tổng 1 + 2 + … + 99 + 100 rằng 1 + 100 = 2 + 99 = … = 50 + 51 gồm 50 cặp số, mỗi cặp có tổng bằng 101.

Cuối cùng, cũng cần nhắc đến công thức tính số số hạng của một cấp số cộng khi biết số hạng đầu, số hạng cuối và công sai:

Số số hạng = [(Số hạng đầu – Số hạng cuối): công sai] + 1

Đây chính là công thức của bài toán trồng cây quen thuộc ở cấp 2!

Bài tập cấp số cộng có lời giải

Ví dụ 1: Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để dãy số $a^2,b^2,c^2$ lập thành một cấp số cộng có công sai dương là dãy số $\frac{1}{b+c};\frac{1}{c+a};\frac{1}{a+b};$ là một cấp số cộng.

Bài giải:

Dãy số $\frac{1}{b+c};\frac{1}{c+a};\frac{1}{a+b};$ là một cấp số cộng

$\Leftrightarrow\frac{1}{c+a}-\frac{1}{b+c}=\frac{1}{a+b}-\frac{1}{c+a}\Leftrightarrow\frac{b-a}{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}=\frac{c-b}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}$
$\Leftrightarrow b^2-a^2=c^2-b^2\Leftrightarrow2b^2=a^2+c^2$

Vậy $a^2,b^2,c^2$ lập thành một cấp số cộng.

Ví dụ 2 :

Biết rằng dãy số thực dương $a_1;a_2;....a_n$ là một cấp số cộng, chứng minh hệ thức :

$\frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}}+....+\frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_n}}=\frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_n}}\left(1\right)$

Bài giải :

Ta có $\frac{1}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}}=\frac{\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}}{\left(\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}\right)\left(\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}\right)}=\frac{\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}}{a_2-a_1}=\frac{\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}}{d}$

Tương tự $\frac{1}{\sqrt{a_2}+\sqrt{a_3}}=\frac{\sqrt{a_3}-\sqrt{a_1}}{d};.......\frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_n}}=\frac{a_n-a_1}{d}$

Vế trái của (1) thành :

$\frac{\left(\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}\right)+\left(\sqrt{a_3}-\sqrt{a_2}\right)+\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}}\right)}{d}=\frac{\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1}\right)}{d}=\frac{a_n-a_1}{d\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1}\right)}$

$=\frac{\left(a_1+\left(n-1\right)d\right)-a_1}{d\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1}\right)}=\frac{n-1}{\left(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1}\right)}$

Ví dụ 3 : Cho 2 cấp số cộng

$u_n=u_1;u_2;.....u_n$ có công sai $d_1$

và $v_n=v_1;v_2;.....v_n$ có công sai $d_2$

Gọi tổng của n số hạng đầu của mỗi cấp số theo thứ tự là $S_n=u_1+u_2+.....+u_n=7n+1$ và $T_n=v_1+v_2+.....+v_n=4n+27$ . Tìm tỉ số $\frac{u_{11}}{v_{11}}$

Bài giải

Ta có $S_n=2u_1+\left(n-1\right)d_1$ và $T_n=2v_1+\left(n-1\right)d_2$ nên $\frac{S_n}{T_n}=\frac{2u_1+\left(n-1\right)d_1}{2v_1+\left(n-1\right)d_2}=\frac{7n+1}{4n+27}\left(1\right)$