Mục lục bài viết

Công thức tích phân từng phần
Ví dụ áp dụng công thức tích phân từng phần

Công thức tích phân từng phần: Công thức, ví dụ và cách tính tích phân từng phần…

Công thức tích phân từng phần

Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b], thì ta có :
$\int\limits_a^b {udv = \left. {\left[ {uv} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} }$
Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
Ưu tiên 1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u = ln(x) hay u = log $_a$ x.
Ưu tiên 2 : Đặt u = ? mà có thể hạ bậc.

Ví dụ áp dụng công thức tích phân từng phần

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau :
a) ${I_1} = \int\limits_0^1 {x.{e^x}dx}$
b) ${I_2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{x^2}.\cos xdx}$
c) ${I_3} = \int\limits_1^e {\ln xdx}$

Lời giải:

a) Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = x \to du = dx\\ dv = {e^x}dx \to v = {e^x} \end{array} \right.\quad$
${I_1} = \int\limits_0^1 {x.{e^x}dx} = \left. {x.{e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}} dx \\= e - \left. {{e^x}} \right|_0^1 = e - \left( {e - 1} \right) = 1$

b) Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2} \to du = 2xdx\\ dv = \cos xdx \to v = \sin x \end{array} \right.\quad$

Vậy: $\int\limits_0^1 {x.{e^x}dx} = \left. { - x.\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x.\sin xdx} \\= {\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^2} - 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x.\sin xdx} \,\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta đi tính tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x.\sin xdx} \quad$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = x \to du = dx\\ dv = \sin xdx \to v = - \cos x \end{array} \right.\quad$
Vậy: $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x.\sin xdx} = \left. { - x.\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} \\= \left. { - x.\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\sin } \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 1$
Thế vào (1) ta được: ${I_1} = \int\limits_0^1 {x.{e^x}dx} = \frac{{{\pi ^2} - 8}}{4}$

c) Đặt:
$\left\{ \begin{array}{l} u = \cos \left( {\ln x} \right) \to du = - \frac{1}{x}\sin \left( {\ln x} \right)dx\\ dv = dx \to v = x \end{array} \right.\quad$

Vậy: ${I_3} = \int\limits_1^e {\ln xdx} = \left. {x.\ln x} \right|_1^e - \int\limits_1^e {dx} = \left. {x.\ln x} \right|_1^e - \left. x \right|_0^e = 1$

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau
a) ${I_1} = \int\limits_0^\pi {{e^x}.\sin xdx}$
b) ${I_2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{x}{{{{\cos }^2}x}}dx}$
c) ${I_3} = \int\limits_1^{{e^\pi }} {\cos \left( {\ln x} \right)dx}$

Lời giải:

a) Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = {e^x} \to du = {e^x}dx\\ dv = \sin xdx \to v = - \cos x \end{array} \right.\quad$
Vậy: ${I_1} = \int\limits_0^\pi {{e^x}.\sin xdx} \\= \left. { - {e^x}.\cos x} \right|_0^\pi + \int\limits_0^\pi {{e^x}.\cos xdx \\= {e^\pi } + 1 + J\quad \left( 1 \right)}$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = {e^x} \to du = {e^x}dx\\ dv = \cos xdx \to v = \sin x \end{array} \right.\quad$
Vậy: $J = \int\limits_0^\pi {{e^x}.\cos xdx} = \left. {{e^x}.\sin x} \right|_0^\pi - \int\limits_0^\pi {{e^x}.\sin xdx} = - I$
Thế vào (1) ta được: $2{I_1} = {e^\pi } + 1 \to {I_1} = \frac{{{e^\pi } + 1}}{2}$

b) Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = x \to du = dx\\dv = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx \to v = \tan x\end{array} \right.\quad$
Vậy: ${I_2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{x}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \left. {x.\tan x} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan xdx \\= } \frac{\pi }{4} + \left. {\ln \left( {\cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{4} + \ln \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

c) Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = \cos \left( {\ln x} \right) \to du = - \frac{1}{x}\sin \left( {\ln x} \right)dx\\dv = dx \to v = x\end{array} \right.\quad$

Vậy: ${I_3} = \int\limits_1^{{e^\pi }} {\cos \left( {\ln x} \right)dx} \\= \left. {x.\cos \left( {\ln x} \right)} \right|_1^{{e^\pi }} + \int\limits_1^{{e^\pi }} {\sin \left( {\ln x} \right)dx} = - \left( {{e^\pi } + 1} \right) + J$

Đặt:
$\left\{ \begin{array}{l} u = \sin \left( {\ln x} \right) \to du = \frac{1}{x}\cos \left( {\ln x} \right)dx\\ dv = dx \to v = x \end{array} \right.\quad$

Vậy: ${I_3} = \int\limits_1^{{e^\pi }} {\sin \left( {\ln x} \right)dx} = \left. {x.\sin \left( {\ln x} \right)} \right|_1^{{e^\pi }} - \int\limits_1^{{e^\pi }} {\cos \left( {\ln x} \right)dx} \\= 0 - {I_3}$
Thế vào (1) ta được: $2{I_3} = - \left( {{e^\pi } + 1} \right)\quad \Rightarrow \quad {I_3} = - \frac{{{e^\pi } + 1}}{2}$
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!

Công thức tích phân từng phần dễ hiểu và ví dụ

Công thức tích phân từng phần

Ví dụ áp dụng công thức tích phân từng phần

Bài viết cùng chuyên mục

Trả lời Hủy