Công thức tích phân từng phần: Công thức, ví dụ và cách tính tích phân từng phần…

Công thức tích phân từng phần

Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b], thì ta có :
$\int\limits_a^b {udv = \left. {\left[ {uv} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} }$
Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
Ưu tiên 1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u = ln(x) hay u = log $_a$ x.
Ưu tiên 2 : Đặt u = ? mà có thể hạ bậc.

Ví dụ áp dụng công thức tích phân từng phần

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau :
a) ${I_1} = \int\limits_0^1 {x.{e^x}dx}$
b) ${I_2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{x^2}.\cos xdx}$
c) ${I_3} = \int\limits_1^e {\ln xdx}$

Lời giải:

a) Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = x \to du = dx\\ dv = {e^x}dx \to v = {e^x} \end{array} \right.\quad$
${I_1} = \int\limits_0^1 {x.{e^x}dx} = \left. {x.{e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}} dx \\= e - \left. {{e^x}} \right|_0^1 = e - \left( {e - 1} \right) = 1$

b) Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2} \to du = 2xdx\\ dv = \cos xdx \to v = \sin x \end{array} \right.\quad$

Vậy: $\int\limits_0^1 {x.{e^x}dx} = \left. { - x.\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x.\sin xdx} \\= {\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^2} - 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x.\sin xdx} \,\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta đi tính tích phân $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x.\sin xdx} \quad$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = x \to du = dx\\ dv = \sin xdx \to v = - \cos x \end{array} \right.\quad$
Vậy: $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x.\sin xdx} = \left. { - x.\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} \\= \left. { - x.\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\sin } \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 1$
Thế vào (1) ta được: ${I_1} = \int\limits_0^1 {x.{e^x}dx} = \frac{{{\pi ^2} - 8}}{4}$

c) Đặt:
$\left\{ \begin{array}{l} u = \cos \left( {\ln x} \right) \to du = - \frac{1}{x}\sin \left( {\ln x} \right)dx\\ dv = dx \to v = x \end{array} \right.\quad$

Vậy: ${I_3} = \int\limits_1^e {\ln xdx} = \left. {x.\ln x} \right|_1^e - \int\limits_1^e {dx} = \left. {x.\ln x} \right|_1^e - \left. x \right|_0^e = 1$

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau
a) ${I_1} = \int\limits_0^\pi {{e^x}.\sin xdx}$
b) ${I_2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{x}{{{{\cos }^2}x}}dx}$
c) ${I_3} = \int\limits_1^{{e^\pi }} {\cos \left( {\ln x} \right)dx}$

Lời giải:

a) Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = {e^x} \to du = {e^x}dx\\ dv = \sin xdx \to v = - \cos x \end{array} \right.\quad$
Vậy: ${I_1} = \int\limits_0^\pi {{e^x}.\sin xdx} \\= \left. { - {e^x}.\cos x} \right|_0^\pi + \int\limits_0^\pi {{e^x}.\cos xdx \\= {e^\pi } + 1 + J\quad \left( 1 \right)}$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = {e^x} \to du = {e^x}dx\\ dv = \cos xdx \to v = \sin x \end{array} \right.\quad$
Vậy: $J = \int\limits_0^\pi {{e^x}.\cos xdx} = \left. {{e^x}.\sin x} \right|_0^\pi - \int\limits_0^\pi {{e^x}.\sin xdx} = - I$
Thế vào (1) ta được: $2{I_1} = {e^\pi } + 1 \to {I_1} = \frac{{{e^\pi } + 1}}{2}$

b) Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = x \to du = dx\\dv = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx \to v = \tan x\end{array} \right.\quad$
Vậy: ${I_2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{x}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \left. {x.\tan x} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan xdx \\= } \frac{\pi }{4} + \left. {\ln \left( {\cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{4} + \ln \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

c) Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = \cos \left( {\ln x} \right) \to du = - \frac{1}{x}\sin \left( {\ln x} \right)dx\\dv = dx \to v = x\end{array} \right.\quad$

Vậy: ${I_3} = \int\limits_1^{{e^\pi }} {\cos \left( {\ln x} \right)dx} \\= \left. {x.\cos \left( {\ln x} \right)} \right|_1^{{e^\pi }} + \int\limits_1^{{e^\pi }} {\sin \left( {\ln x} \right)dx} = - \left( {{e^\pi } + 1} \right) + J$

Đặt:
$\left\{ \begin{array}{l} u = \sin \left( {\ln x} \right) \to du = \frac{1}{x}\cos \left( {\ln x} \right)dx\\ dv = dx \to v = x \end{array} \right.\quad$

Vậy: ${I_3} = \int\limits_1^{{e^\pi }} {\sin \left( {\ln x} \right)dx} = \left. {x.\sin \left( {\ln x} \right)} \right|_1^{{e^\pi }} - \int\limits_1^{{e^\pi }} {\cos \left( {\ln x} \right)dx} \\= 0 - {I_3}$
Thế vào (1) ta được: $2{I_3} = - \left( {{e^\pi } + 1} \right)\quad \Rightarrow \quad {I_3} = - \frac{{{e^\pi } + 1}}{2}$
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!