Các cách xét tính chẵn lẻ của hàm số và bài tập

Bài viết xét tính chẵn lẻ của hàm số bao gồm: cách xét tính chẵn lẻ của hàm số, bài tập xét tính chẵn lẻ của hàm số…
Xét tính chẵn lẻ của hàm số

Khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số y = f\left( x \right)có tập xác định D.

Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu với \forall x \in D thì - x \in Df\left( x \right) = f\left( { - x} \right) .

Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu với \forall x \in Dthì - x \in Df\left( x \right) = - f\left( { - x} \right)

Chú ý: Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ.

Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ

Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.

Cách xét tính chẵn lẻ của hàm số

Cho hàm số y = f\left( x \right) xác định trên D

f là hàm số chẵn \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\\f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\end{array} \right.

f là hàm số lẻ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\\f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\end{array} \right.

Các bước xét tính chẵn, lẻ của hàm số:

Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số.

Bước 2. Kiểm tra:

+ Nếu \forall x \in D \Rightarrow - x \in D thì chuyển qua bước 3.

+ Nếu tồn tại {x_0} \in D- {x_0} \notin D thì kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.

Bước 3. Xác định f\left( { - x} \right) và so sánh với f\left( x \right):

+ Nếu f\left( { - x} \right) = f\left( x \right) thì kết luận hàm số là chẵn.

+ Nếu f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)thì kết luận hàm số là lẻ.

Bài tập xét tính chẵn lẻ của hàm số

Ví dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) f\left( x \right) = 3{x^3} + 2\sqrt[3]{x}

b) f\left( x \right) = {x^4} + \sqrt {{x^2} + 1}

c) f\left( x \right) = \sqrt {x + 5} + \sqrt {5 - x}

d) f\left( x \right) = \sqrt {2 + x} + \frac{1}{{\sqrt {2 - x} }}

Giải

a) Tập xác định của hàm số: D = R

Với mọi x \in R ta có - x \in Rf\left( { - x} \right) = 3{\left( { - x} \right)^3} + 2\sqrt[3]{{ - x}} \\= - \left( {3{x^3} + 2\sqrt[3]{x}} \right) = - f\left( x \right)

Do đó f\left( x \right) = 3{x^3} + 2\sqrt[3]{x}là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số: D = R

Với mọi x \in Rta có - x \in Rf\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^4} + \sqrt {{{\left( { - x} \right)}^2} + 1} \\= {x^4} + \sqrt {{x^2} + 1} = f\left( x \right)

Do đó f\left( x \right) = {x^4} + \sqrt {{x^2} + 1} là hàm số chẵn.

c) Điều kiện xác định: \left\{ \begin{array}{l}x + 5 \ge 0\\5 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 5\\x \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow - 5 \le x \le 5

Suy ra tập xác định của hàm số là: D = \left[ { - 5;5} \right]

Với mọi x \in \left[ { - 5;5} \right]ta có - x \in \left[ { - 5;5} \right]f\left( { - x} \right) = \sqrt { - x + 5} + \sqrt {5 - \left( { - x} \right)} \\= \sqrt {5 - x} + \sqrt {x + 5} = f\left( x \right)

Do đó f\left( x \right) = \sqrt {x + 5} + \sqrt {5 - x} là hàm số chẵn.

d) Điều kiện xác định:

    \[\left\{ \begin{array}{l}2 + x \ge 0\\2 - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 \le x < 2\]

Suy ra tập xác định của hàm số là: D = \left[ { - 2;2} \right)

Ta có {x_0} = - 2 \in \left[ { - 2;2} \right) nhưng - {x_0} = 2 \notin \left[ { - 2;2} \right)

Vậy hàm số f\left( x \right) = \sqrt {2 + x} + \frac{1}{{\sqrt {2 - x} }} không chẵn và không lẻ.

Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) f\left( x \right) = {x^4} - 4x + 2

b) f\left( x \right) = \left| {\left| {x + 2} \right| - \left| {x - 2} \right|} \right|

c) f\left( x \right) = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}}

d) f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - 1\,\,khi\,\,x < 0\\0\,\,khi\,\,x = 0\\1\,\,khi\,\,x > 0\end{array} \right.

Giải

a) Tập xác định của hàm số: D = R

Ta có

    \[f\left( { - 1} \right) = 7;\,\,f\left( 1 \right) = - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) \ne f\left( 1 \right)\\f\left( { - 1} \right) \ne - f\left( 1 \right)\end{array} \right.\]

Vậy hàm số không chẵn và không lẻ.

b) Tập xác định của hàm số: D = R

Với mọi x \in R ta có - x \in Rf\left( { - x} \right) = \left| {\left| { - x + 2} \right| - \left| { - x - 2} \right|} \right| \\= \left| {\left| {2 - x} \right| - \left| {x + 2} \right|} \right| = \left| {\left| {x - 2} \right| - \left| {x + 2} \right|} \right|

Suy ra f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)

Do đó f\left( x \right) = \left| {\left| {x + 2} \right| - \left| {x - 2} \right|} \right| là hàm số chẵn.

c) Ta có \sqrt {{x^2} + 1} > \sqrt {{x^2}} = \left| x \right| \ge x \\\Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1} - x \ne 0\,\,\forall x

Suy ra tập xác định của hàm số là: D = R .

Mặt khác \sqrt {{x^2} + 1} > \sqrt {{x^2}} = \left| x \right| \ge - x \\\Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1} + x \ne 0\,\,\forall x do đó f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}}}{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)}} - 2{x^2} - 1 \\= 2x\sqrt {{x^2} + 1}

Với mọi x \in R ta có - x \in Rf\left( { - x} \right) = 2\left( { - x} \right)\sqrt {{{\left( { - x} \right)}^2} + 1} = - 2x\sqrt {{x^2} + 1} \\= - f\left( x \right)

Do đó f\left( x \right) = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}}là hàm số lẻ.

d) Tập xác định của hàm số: D = R

Dễ thấy với mọi x \in R ta có - x \in R

Với mọi x > 0 ta có - x < 0 suy ra f\left( { - x} \right) = - 1, f\left( x \right) = 1 \Rightarrow f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)

Với mọi x < 0 ta có - x > 0 suy ra f\left( { - x} \right) = 1;\,\,f\left( x \right) = - 1 \Rightarrow f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)

f\left( { - 0} \right) = - f\left( 0 \right) = 0

Do đó với mọi x \in Rta có f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)
Vậy hàm số f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - 1\,\,khi\,\,x < 0\\0\,\,khi\,\,x = 0\\1\,\,khi\,\,x > 0\end{array} \right.là hàm số lẻ.

Ví dụ 3. Tìm m để hàm số f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) + \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - m}}là hàm số chẵn.

Điều kiện xác định: \sqrt {{x^2} + 1} \ne m
Giả sử hàm số f\left( x \right) là hàm số chẵn suy ra f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)với mọi x thỏa mãn điều kiện \sqrt {{x^2} + 1} \ne m
Ta cóf\left( { - x} \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) - \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - m}}
Suy ra f\left( { - x} \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) - \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - m}} \\= \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) + \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - m}} \Leftrightarrow 2\left( {2{m^2} - 2} \right)x = 0 với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định \Leftrightarrow 2{m^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1.

+ Với m = 1 ta có hàm số là f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}
Điều kiện xác định: \sqrt {{x^2} + 1} \ne 1 \Leftrightarrow x \ne 0
Suy ra tập xác định của hàm số là: D = R\backslash \left\{ 0 \right\}
Dễ thấy với mọi x \in R\backslash \left\{ 0 \right\} ta có - x \in R\backslash \left\{ 0 \right\}f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)
Do đó f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}} là hàm số chẵn.
+ Với m = - 1 ta có hàm số là f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} + 1}}
Tập xác định của hàm số D = R
Dễ thấy với mọi x \in R ta có - x \in Rf\left( { - x} \right) = f\left( x \right)
Do đó f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} + 1}} là hàm số chẵn.
Vậy m = \pm 1 là giá trị cần tìm.
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!

4/5 - (3 bình chọn)
Mình là Nguyễn Mỹ Lệ - là tác giả các bài viết trong chuyên mục sổ tay Toán học - Vật lý - Hóa học. Mong rằng các bài viết của mình được các bạn đón nhận nồng nhiệt.

Related Posts

Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne)

Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức

Bài viết lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức bao gồm: Cách chia đa thức cho đa thức bằng lược đồ Hoocne, bài…

Chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip

Chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip

Chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip và công thức tính chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip. Vẽ qua A1&A2 hai đường…

Ước số là gì - Bội số là gì?

Ước số là gì – Bội số là gì?

Ước số là gì- Bội số là gì? Bài tập về ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất đưa ra một số phương pháp giải…

Công thức tính thể tích hình trụ

Công thức tính thể tích hình trụ – Ví dụ cách tính thể tích hình trụ

Thể tích hình trụ là gì? Công thức tính thể tích hình trụ, cách tính thể tích hình trụ… Công thức tính thể tích hình trụ Thể…

Thể tích hình chóp cụt

Thể tích hình chóp cụt – Công thức và ví dụ

Thể tích hình chóp cụt là gì? Công thức tính thể tích hình chóp cụt, cách tính thể tích hình chóp cụt… Công thức tính thể tích…

Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Những hằng đẳng thức đáng nhớ, hằng đẳng thức mở rộng và dạng toán áp dụng

Bài viết những hằng đẳng thức đáng nhớ bao gồm: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, các hằng đẳng thức mở rộng, các hằng đẳng thức tổng…