Bài viết định lý viet bao gồm: định lý viet đảo, định lý viet thuận, bài tập định lý viet, định lý viet bậc 3, chuyên đề phương trình bậc hai và định lý viet, định lý viet và ứng dụng…
Định lý Viet
Định lý Viet thuận
Nếu phương trình bậc hai có dạng:
có 2 nghiệm phân biệt thì:
Định lý Viet đảo
Nếu ta có hai số u, v có u + v = S và u.v = P thì u và v là nghiệm của phương trình :
Ví dụ bài tập định lý viet
Bài 1: Tìm tổng và tích của các nghiệm phương trình sau:
Hướng dẫn: Đầu tiên ta tính
Ta có:
Bài 2: Tìm tổng và tích của các nghiệm phương trình sau:
Hướng dẫn:
Với bài toán này, ta nhận thấy hệ số a và c trái dấu, như đã học ở bài trước, pt này chắc chắn có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy:
Bài 3:Tìm tổng và tích của các nghiệm phương trình sau:
Hướng dẫn: Đầu tiên ta tính
Vậy
Bài 4: Tìm hai số biết tổng của chúng là 5 và tích của chúng là 6
Hướng dẫn: Gọi hai số đó là và
Lại có
Vậy 2 số cần tìm là nghiệm của phương trình hay
hoặc
Bài 5: Tìm hai số biết hiệu của chúng là 11 và tích của chúng là 60
Hướng dẫn: Gọi hai số cần tim là a, b
Ta có
Thế vào phương trình tích, ta được
hoặc
Bài 6: Định để phương trình
có hai nghiệm phân biệt
thoả mãn đẳng thức
Hướng dẫn:
Ta có Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi
Khi đó, theo định lý Vi-et ta có
Đẳng thức đã cho tương đương
Định lý viet bậc 3
Cho phương trình:
Định lý Viet thuận
Nếu phương trình có 3 nghiệm x1, x2, x3 thì ta có:
Định lý Viet đảo
Nếu 3 số x, y, z thỏa mãn:
Thì x, y,z là 3 nghiệm của phương trình:
Các dạng toán ứng dụng định lý Viet
Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phương trình sao cho chúng không phụ huộc vào tham số
Phương pháp:
Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
– Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm và
(thường là
và
)
– Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết và
theo tham số
– Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo và
. Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm
và
.
Bài 1:
Cho phương trình: có 2 nghiệm
. Lập hệ thức liên hệ giữa
sao cho chúng không phụ thuộc vào
.
Giải:
Để phương trình trên có 2 nghiệm và
thì :
Theo hệ thức VI-ÉT ta có :
Rút từ (1) ta có :
(3)
Rút từ (2) ta có :
(4)
Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:
Bài 2:
Gọi ,
là nghiệm của phương trình :
.
Chứng minh rằng biểu thức không phụ thuộc giá trị của
.
Giải:
Để phương trình trên có 2 nghiệm và
thì :
Theo hệ thức VI-ÉT ta có :
thay vào
ta có:
Vậy với mọi
và
. Do đó biểu thức
không phụ thuộc vào
Nhận xét:
– Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm
– Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
Bài 3:
Cho phương trình : có 2 nghiệm
và
. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa
sao cho
độc lập đối với
.
Hướng dẫn:
Dễ thấy
do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt và
Theo hệ thức VI-ÉT ta có:
Từ (1) và (2) ta có:
Bài 4:
Cho phương trình : .
Tìm hệ thức liên hệ giữa và
sao cho chúng không phụ thuộc vào
.
Hướng dẫn:
Dễ thấy do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt
và
Theo hệ thức VI-ÉT ta có
Từ (1) và (2) ta có:
Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho
Phương pháp:
Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:
– Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm và
(thường là
và
)
– Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số).
– Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Bài 1:
Cho phương trình :
Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm và
thoả mãn hệ thức :
Giải:
Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm và
là :
Theo hệ thức VI-ÉT ta có:
Và từ giả thiết: . Suy ra:
(thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với thì phương trình đã cho có 2 nghiệm
và
thoả mãn hệ thức :
Bài 2:
Cho phương trình :
Tìm để 2 nghiệm
và
thoả mãn hệ thức :
Giải:
Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm là :
Theo hệ thức VI-ÉT ta có:
và từ giả thiết . Suy ra
Vậy với thì phương trình có 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức :
Bài 3:
Cho phương trình :
Tìm để 2 nghiệm
và
thoả mãn hệ thức :
Hướng dẫn:
– ĐKX Đ:
-Theo VI-ÉT:
– Từ Suy ra: (2)
– Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau:
Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
Phương pháp:
Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được:
(trong đó
là các biểu thức không âm ;
là hằng số) (*)
Thì ta thấy : (v ì
)
(v ì
)
Bài 1:
Cho phương trình :
Gọi và
là các nghiệm của phương trình. Tìm
để:
có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Theo VI-ÉT:
Theo đề bài :
Suy ra: hay
Bài 2:
Cho phương trình :
Gọi và
là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Giải:
Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì :
Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn
Ta biến đổi B như sau:
Vì
Vậy m = 1
Với cách thêm bớt khác ta lại có:
Vì
Vậy
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!