Công thức đạo hàm lượng giác đầy đủ và ví dụ áp dụng

Tổng hợp công thức đạo hàm lượng giác, công thức đạo hàm lượng giác ngược, công thức đạo hàm lượng giác có mũ…
Công thức đạo hàm lượng giác

Công thức đạo hàm lượng giác

Đạo hàm của hàm số y=sinx

Hàm số y=sin x có đạo hàm tại mọi x \in \mathbb{R} và \left( {\sin x} \right)' = \cos x.

Nếu y=sin u và u=u(x) thì (sin u)'=u'. \cos u.

Đạo hàm của hàm số y=cosx

Hàm số y=\cos x có đạo hàm tại mọi x \in \mathbb{R} và \left( {\cos x} \right)' =-\sin x.

Nếu y=\cos u và u=u(x) thì (cos u)'=-u'. \sin u.

Đạo hàm của hàm số y=tanx

Hàm số y=\tan x có đạo hàm tại mọi x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{R} và \left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.

Nếu y=tan u và u=u(x) thì \left( {\tan u} \right)' = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}.

Đạo hàm của hàm số y=cotx

Hàm số y=\cot x có đạo hàm tại mọi x \ne k\pi ,k \in \mathbb{R} và \left( {\cot x} \right)' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}.

Nếu y=\cot u và u=u(x) thì \left( {\cot x} \right)' = - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}u}}.

Công thức đạo hàm lượng giác ngược

(Hàm lượng giác ngược có 2 cách viết, ví dụ hàm số lượng giác ngược của \sin(x) có thể viết thành là sin^{-1}(x) hoặc \arcsin(x), mình chọn cách viết thứ hai.)

Đạo hàm của \arcsin: y = \arcsin(x) \Rightarrow y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

Đạo hàm của \arccos: y = \arccos(x) \Rightarrow y' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

Đạo hàm của \arctan: y = \arctan(x) \Rightarrow y' = \frac{1}{1 + x^2}

Đạo hàm của \text{arccot}: y = \text{arccot}(x) \Rightarrow y' = -\frac{1}{1 + x^2}

Đạo hàm của \text{arcsec}: y = \text{arcsec}(x) \Rightarrow y' = \frac{1}{|x| \sqrt{x^2 - 1}}

Đạo hàm của \text{arccsc}: y = \text{arccsc}(x) \Rightarrow y' = -\frac{1}{|x| \sqrt{x^2 - 1}}

Công thức đạo hàm lượng giác có mũ

    \[\begin{array}{l} {(Sinax)^n} = {a^n}.Sin(ax + n.\frac{\Pi }{2})\\ {(Cosax)^n} = {a^n}.Cos(ax + n.\frac{\Pi }{2}) \end{array}\]

Đạo hàm của hàm hyperbolic

Đạo hàm của \sinh: y = \sinh(x) \Rightarrow y' = \cosh(x)

Đạo hàm của \cosh: y = \cosh(x) \Rightarrow y' = \sinh(x)

Đạo hàm của \tanh: y = \tanh(x) \Rightarrow y' = \text{sech}^2(x) = 1 - \tanh^2(x) \\= \frac{1}{\cosh^2(x)}

Đạo hàm của \coth: y = \coth(x) \Rightarrow y' = -\text{csch}^2(x) = 1 - \coth^2(x) \\= -\frac{1}{\sinh^2(x)}

Đạo hàm của \text{sech}: y = \text{sech}(x) \Rightarrow y' = -\tanh(x) \text{ sech}(x)

Đạo hàm của \text{csch}: y = \text{csch}(x) \Rightarrow y' = -\coth(x) \text{ csch}(x)

Đạo hàm của hàm hyperbolic ngược

Đạo hàm của \text{arsinh}: y = \text{arsinh}(x) \Rightarrow y' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}

Đạo hàm của \text{arcosh}: y = \text{arcosh}(x) \Rightarrow y' = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}

Đạo hàm của \text{artanh}: y = \text{artanh}(x) \Rightarrow y' = \frac{1}{1 - x^2}

Đạo hàm của \text{arcoth}: y = \text{arcoth}(x) \Rightarrow y' = \frac{1}{1 - x^2}

Đạo hàm của \text{arsech}: y = \text{arsech}(x) \Rightarrow y' = -\frac{1}{x \sqrt{1 - x^2}}

Đạo hàm của \text{arcsch}: y = \text{arcsch}(x) \Rightarrow y' = -\frac{1}{|x| \sqrt{1 + x^2}}

Chú ý khi áp dụng công thức đạo hàm của các hàm lượng giác các bạn nên quan tâm luôn tới giá trị của x, ví dụ đạo hàm của \arcsin(x) sẽ không xác định khi x = -1x = 1, do đó phải có điều kiện x \neq -1x \neq 1.

Ví dụ công thức đạo hàm lượng giác

Ví dụ 1:
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right).

b) y = \sin \sqrt {x + 10} .

c) y = \sin \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right).

Lời giải:
a) y = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\Rightarrow y' = \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)'.\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)= - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right).

b) y = \sin \sqrt {x + 10}\Rightarrow y' = \left( {\sqrt {x + 10} } \right)'.\cos \sqrt {x + 10}= \frac{1}{{2\sqrt {x + 10} }}.\cos \sqrt {x + 10} .

c) y = \sin \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)\Rightarrow y' = \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)'.\cos \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)= \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}.\cos \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right).

Ví dụ 2:
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = \cos \left( {{x^3} - x} \right).

b) y = \cos \sqrt {{x^2} - 8} .

c) y = \cos \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right).

Lời giải:
a) y = \cos \left( {{x^3} - x} \right)\Rightarrow y' = - \left( {{x^3} - x} \right)'.\sin \left( {{x^3} - x} \right)= - \left( {3{x^3} - 1} \right).\sin \left( {{x^3} - x} \right).

b) y = \cos \sqrt {{x^2} - 8}\Rightarrow y' = - \left( {\sqrt {{x^2} - 8} } \right)'.\sin \sqrt {x + 10}= \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 8} }}.\sin \sqrt {{x^2} - 8} .

c) y = \cos \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right)\Rightarrow y' = \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right)'.\sin \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)= \frac{4}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}.\sin \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right).

Ví dụ 3:
Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = \tan \left( {{x^5} - 5x} \right).

b) y = \tan \sqrt {{x^4} + 1}.

Lời giải:
a) y = \tan \left( {{x^5} - 5x} \right) \Rightarrow y' = \frac{{({x^5} - 5x)'}}{{{{\cos }^2}\left( {{x^5} - 5x} \right)}} = \frac{{5{x^4} - 5}}{{{{\cos }^2}\left( {{x^5} - 5x} \right)}}.

b) y = \tan \sqrt {{x^4} + 1}\Rightarrow y' = \frac{{\left( {\sqrt {{x^4} + 1} } \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {\sqrt {{x^4} + 1} } \right)}} = \frac{{2{x^3}}}{{\sqrt {{x^4} + 1} .{{\cos }^2}\left( {\sqrt {{x^4} + 1} } \right)}}.

Ví dụ 4:
Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = \cot \left( {7{x^3} - 6x} \right).

b) y = {\cot ^4}\left( {5x + 1} \right).

Lời giải:
a) y = \cot \left( {7{x^3} - 6x} \right) \Rightarrow y' = \frac{{(7{x^3} - 6x)'}}{{{{\sin }^2}\left( {7{x^3} - 6x} \right)}} = - \frac{{21{x^2} - 6}}{{{{\sin }^2}\left( {7{x^3} - 6x} \right)}}.

b) y = {\cot ^4}\left( {5x + 1} \right)\Rightarrow y' = 4{\cot ^3}\left( {5x + 1} \right).\left[ {\cot \left( {5x + 1} \right)} \right]'

= 4{\cot ^3}\left( {5x + 1} \right).\left( {\frac{{ - 5}}{{{{\sin }^2}\left( {5x + 1} \right)}}} \right)= \frac{{ - 20{{\cot }^3}\left( {5x + 1} \right)}}{{{{\sin }^2}\left( {5x + 1} \right)}}.

Download bảng công thức đạo hàm đầy đủ pdf

Các bạn có thể tải bảng công thức đạo hàm đầy đủ pdf dưới đây để in ra tiện cho việc tra cứu và học tập.

Trên đây là bài viết công thức đạo hàm lượng giác đầy đủ và ví dụ áp dụng, Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *