Tổng hợp công thức đạo hàm lượng giác, công thức đạo hàm lượng giác ngược, công thức đạo hàm lượng giác có mũ…

Công thức đạo hàm lượng giác

Đạo hàm của hàm số y=sinx

Hàm số $y=sin x$ có đạo hàm tại mọi $x \in \mathbb{R}$ và $\left( {\sin x} \right)' = \cos x.$

Nếu $y=sin u$ và $u=u(x)$ thì $(sin u)'=u'. \cos u.$

Đạo hàm của hàm số y=cosx

Hàm số $y=\cos x$ có đạo hàm tại mọi $x \in \mathbb{R}$ và $\left( {\cos x} \right)' =-\sin x.$

Nếu $y=\cos u$ và $u=u(x)$ thì $(cos u)'=-u'. \sin u.$

Đạo hàm của hàm số y=tanx

Hàm số $y=\tan x$ có đạo hàm tại mọi $x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{R}$ và $\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.$

Nếu $y=tan u$ và $u=u(x)$ thì $\left( {\tan u} \right)' = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}.$

Đạo hàm của hàm số y=cotx

Hàm số $y=\cot x$ có đạo hàm tại mọi $x \ne k\pi ,k \in \mathbb{R}$ và $\left( {\cot x} \right)' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}.$

Nếu $y=\cot u$ và $u=u(x)$ thì $\left( {\cot x} \right)' = - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}u}}$ .

Công thức đạo hàm lượng giác ngược

(Hàm lượng giác ngược có 2 cách viết, ví dụ hàm số lượng giác ngược của $\sin(x)$ có thể viết thành là $sin^{-1}(x)$ hoặc $\arcsin(x)$ , mình chọn cách viết thứ hai.)

Đạo hàm của $\arcsin$ : $y = \arcsin(x) \Rightarrow y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

Đạo hàm của $\arccos$ : $y = \arccos(x) \Rightarrow y' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

Đạo hàm của $\arctan$ : $y = \arctan(x) \Rightarrow y' = \frac{1}{1 + x^2}$

Đạo hàm của $\text{arccot}$ : $y = \text{arccot}(x) \Rightarrow y' = -\frac{1}{1 + x^2}$

Đạo hàm của $\text{arcsec}$ : $y = \text{arcsec}(x) \Rightarrow y' = \frac{1}{|x| \sqrt{x^2 - 1}}$

Đạo hàm của $\text{arccsc}$ : $y = \text{arccsc}(x) \Rightarrow y' = -\frac{1}{|x| \sqrt{x^2 - 1}}$

Công thức đạo hàm lượng giác có mũ

$\begin{array}{l} {(Sinax)^n} = {a^n}.Sin(ax + n.\frac{\Pi }{2})\\ {(Cosax)^n} = {a^n}.Cos(ax + n.\frac{\Pi }{2}) \end{array}$

Đạo hàm của hàm hyperbolic

Đạo hàm của $\sinh$ : $y = \sinh(x) \Rightarrow y' = \cosh(x)$

Đạo hàm của $\cosh$ : $y = \cosh(x) \Rightarrow y' = \sinh(x)$

Đạo hàm của $\tanh$ : $y = \tanh(x) \Rightarrow y' = \text{sech}^2(x) = 1 - \tanh^2(x) \\= \frac{1}{\cosh^2(x)}$

Đạo hàm của $\coth$ : $y = \coth(x) \Rightarrow y' = -\text{csch}^2(x) = 1 - \coth^2(x) \\= -\frac{1}{\sinh^2(x)}$

Đạo hàm của $\text{sech}$ : $y = \text{sech}(x) \Rightarrow y' = -\tanh(x) \text{ sech}(x)$

Đạo hàm của $\text{csch}$ : $y = \text{csch}(x) \Rightarrow y' = -\coth(x) \text{ csch}(x)$

Đạo hàm của hàm hyperbolic ngược

Đạo hàm của $\text{arsinh}$ : $y = \text{arsinh}(x) \Rightarrow y' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

Đạo hàm của $\text{arcosh}$ : $y = \text{arcosh}(x) \Rightarrow y' = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$

Đạo hàm của $\text{artanh}$ : $y = \text{artanh}(x) \Rightarrow y' = \frac{1}{1 - x^2}$

Đạo hàm của $\text{arcoth}$ : $y = \text{arcoth}(x) \Rightarrow y' = \frac{1}{1 - x^2}$

Đạo hàm của $\text{arsech}$ : $y = \text{arsech}(x) \Rightarrow y' = -\frac{1}{x \sqrt{1 - x^2}}$

Đạo hàm của $\text{arcsch}$ : $y = \text{arcsch}(x) \Rightarrow y' = -\frac{1}{|x| \sqrt{1 + x^2}}$

Chú ý khi áp dụng công thức đạo hàm của các hàm lượng giác các bạn nên quan tâm luôn tới giá trị của $x$ , ví dụ đạo hàm của $\arcsin(x)$ sẽ không xác định khi $x = -1$ và $x = 1$ , do đó phải có điều kiện $x \neq -1$ và $x \neq 1$ .

Ví dụ công thức đạo hàm lượng giác

Ví dụ 1:
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right).$

b) $y = \sin \sqrt {x + 10} .$

c) $y = \sin \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right).$

Lời giải:
a) $y = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$ $\Rightarrow y' = \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)'.\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$ $= - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right).$

b) $y = \sin \sqrt {x + 10}$ $\Rightarrow y' = \left( {\sqrt {x + 10} } \right)'.\cos \sqrt {x + 10}$ $= \frac{1}{{2\sqrt {x + 10} }}.\cos \sqrt {x + 10} .$

c) $y = \sin \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)$ $\Rightarrow y' = \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)'.\cos \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)$ $= \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}.\cos \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right).$

Ví dụ 2:
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \cos \left( {{x^3} - x} \right).$

b) $y = \cos \sqrt {{x^2} - 8} .$

c) $y = \cos \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right).$

Lời giải:
a) $y = \cos \left( {{x^3} - x} \right)$ $\Rightarrow y' = - \left( {{x^3} - x} \right)'.\sin \left( {{x^3} - x} \right)$ $= - \left( {3{x^3} - 1} \right).\sin \left( {{x^3} - x} \right).$

b) $y = \cos \sqrt {{x^2} - 8}$ $\Rightarrow y' = - \left( {\sqrt {{x^2} - 8} } \right)'.\sin \sqrt {x + 10}$ $= \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 8} }}.\sin \sqrt {{x^2} - 8} .$

c) $y = \cos \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right)$ $\Rightarrow y' = \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right)'.\sin \left( {\frac{1}{{x - 2}}} \right)$ $= \frac{4}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}.\sin \left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right).$

Ví dụ 3:
Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \tan \left( {{x^5} - 5x} \right)$ .

b) $y = \tan \sqrt {{x^4} + 1}$ .

Lời giải:
a) $y = \tan \left( {{x^5} - 5x} \right)$ $\Rightarrow y' = \frac{{({x^5} - 5x)'}}{{{{\cos }^2}\left( {{x^5} - 5x} \right)}} = \frac{{5{x^4} - 5}}{{{{\cos }^2}\left( {{x^5} - 5x} \right)}}$ .

b) $y = \tan \sqrt {{x^4} + 1}$ $\Rightarrow y' = \frac{{\left( {\sqrt {{x^4} + 1} } \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {\sqrt {{x^4} + 1} } \right)}} = \frac{{2{x^3}}}{{\sqrt {{x^4} + 1} .{{\cos }^2}\left( {\sqrt {{x^4} + 1} } \right)}}$ .

Ví dụ 4:
Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \cot \left( {7{x^3} - 6x} \right)$ .

b) $y = {\cot ^4}\left( {5x + 1} \right)$ .

Lời giải:
a) $y = \cot \left( {7{x^3} - 6x} \right)$ $\Rightarrow y' = \frac{{(7{x^3} - 6x)'}}{{{{\sin }^2}\left( {7{x^3} - 6x} \right)}} = - \frac{{21{x^2} - 6}}{{{{\sin }^2}\left( {7{x^3} - 6x} \right)}}$ .

b) $y = {\cot ^4}\left( {5x + 1} \right)$ $\Rightarrow y' = 4{\cot ^3}\left( {5x + 1} \right).\left[ {\cot \left( {5x + 1} \right)} \right]'$

$= 4{\cot ^3}\left( {5x + 1} \right).\left( {\frac{{ - 5}}{{{{\sin }^2}\left( {5x + 1} \right)}}} \right)$ $= \frac{{ - 20{{\cot }^3}\left( {5x + 1} \right)}}{{{{\sin }^2}\left( {5x + 1} \right)}}$ .