Góc giữa 2 vecto trong không gian

Góc giữa 2 vecto là gì? Cách xác định góc giữa 2 vecto, công thức tính góc giữa 2 vecto trong không gian OXYZ và các ví dụ về tính góc giữa 2 vectơ…

Định nghĩa góc giữa hai vecto

Cho hai vectơ \vec a và \vec b được mô tả như hình sau:
Tích vô hướng của 2 vectơ
Số đo góc trên được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ \vec a và \vec b.
Nếu số đo ấy bằng 90 độ, ta nói \vec a vuông góc với \vec b.

Công thức tính góc giữa 2 vecto

Tính góc giữa 2 vecto

Tìm góc dựa vào giá trị cosin của nó. Bạn có thể dùng chức năng arccos hoặc cos-1 trong máy tính bỏ túi để tìm góc từ giá trị cos(\vec{a};\vec{b}) đã biết. Với một số kết quả thu được, có thể bạn sẽ tìm được góc dựa trên vòng tròn đơn vị. Tính góc giữa 2 vecto ta dựa vào công thức tích vô hướng của 2 vectơ:
Cho hai vectơ \vec{a}(x;y);\vec{b}(x';y'). Khi đó:
\vec a.\vec b=|\vec a|.|\vec b|.cos\left ( \vec a,\vec b \right )
cos(\vec{a};\vec{b})=\frac{xx'+yy'}{\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{x'^2+y'^2}},\vec{a}\neq \vec{0};\vec{b}\neq \vec{0}

Công thức tính góc giữa 2 vecto trong oxyz

\begin{matrix} (P) \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ (Q) \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{matrix}

\vec{n}_P=(A_1;B_1;C_1) là 1 VTPT của (P)
\vec{n}_Q=(A_2;B_2;C_2) là 1 VTPT của (Q)

cos(P,Q)=\left | cos(\vec{n}_P;\vec{n}_Q) \right | =\frac{\left | \vec{n}_P.\vec{n}_Q \right |}{\left | \vec{n}_P \right |\left | \vec{n}_Q \right |}
=\frac{\left | A_1B_2+B_1B_2+C_1C_2 \right |}{\sqrt{A^2_1+B_1^2+C^2_1} .\sqrt{A^2_2+B_2^2+C^2_2}}

Chú ý:
0^0\leq (\widehat{P,Q})\leq 90^0
(P)\perp (Q)\Leftrightarrow \vec{n}_P.\vec{n}_Q
\Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0

Bài tập ví dụ tính góc giữa hai vecto

Ví dụ 1: Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng
\begin{matrix} (P): 2x+y+2z-3=0\\ (Q):x+2y-2z+4=0 \end{matrix}

Giải:
(P) có 1 VTPT \vec{n}_P=(2;1;2)\Rightarrow \left | \vec{n}_P \right |=3
(Q) có 1 VTPT \vec{n}_Q=(1;2;-2)\Rightarrow \left | \vec{n}_Q \right |=3
cos(P,Q)=\left | cos(\vec{n}_P;\vec{n}_Q) \right | =\frac{\left | \vec{n}_P;\vec{n}_Q \right |}{\left | \vec{n}_P\right |.\left | \vec{n}_Q \right |}\\=\frac{2+2-4}{3.3}=0
Vậy cos(P;Q) = 0

Ví dụ 2: Cho \begin{matrix} (P): mx+y+2z+1=0\\ (Q): x-2y-2z+3=0 \end{matrix}
Tìm m để
\begin{matrix} a) \ \ \ \ (P)\perp (Q)\\ b) \ (\widehat{P;Q})=60^0 \end{matrix}

Giải:
(P) có 1 VTPT \vec{n}_P=(m;1;2)\Rightarrow \left |\vec{n}_P \right |=\sqrt{m^2+5}
(Q) có 1 VTPT \vec{n}_Q=(1;-2;-2)\Rightarrow \left |\vec{n}_Q \right |=3
a)
(P)\perp (Q)\Leftrightarrow \vec{n}_P.\vec{n}_Q=0
\Leftrightarrow m-2-4=0
\Leftrightarrow m=6
b)
(\widehat{P;Q})=60^0\Leftrightarrow cos(\widehat{P;Q})=\frac{1}{2}
\Leftrightarrow \frac{\left | m-2-4 \right |}{\sqrt{m^2+5}.3}=\frac{1}{2}
\Leftrightarrow 2\left | m-6 \right |=3\sqrt{m^2+5}
\Leftrightarrow 4(m^2-12m+36)=9(m^2+5)
\Leftrightarrow 5m^2+48m-99=0
\Delta '=24^2+5.99=1071
\Bigg \lbrack\begin{matrix} m=\frac{-24-\sqrt{1071}}{5}\\ \\ m=\frac{-24+\sqrt{1071}}{5} \end{matrix}

Ví dụ 3: Viết phương trình (\alpha ) chứa OZ và tạo với (P) x+2y-\sqrt{5}z một góc 600

Giải
Gọi \vec{n}=(a;b;c) \ \ \ a^2+b^2+c^2\neq 0
là 1 VTPT của (\alpha )
\Rightarrow \vec{n}\perp \vec{k}=(0;0;1)
\Rightarrow C=0
(\widehat{(\alpha );(P)})=60^0
\Leftrightarrow cos(\widehat{(\alpha );(P)})=60^0=\frac{1}{2}
\Leftrightarrow \frac{\left | a+2b-c\sqrt{5} \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{1^2+2^2+(\sqrt{5})^2 }}=\frac{1}{2}
\Leftrightarrow \frac{\left | a+2b \right |}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{10}}=\frac{1}{2}(do \ C=0)
\Leftrightarrow 2\left | a+2b \right |=\sqrt{10}.\sqrt{a^2+b^2}
\Leftrightarrow 4(a^2+4b^2+4ab)=10(a^2+b^2)
\Leftrightarrow 6a^2-16ab-6b^2=0
\Leftrightarrow 3a^2-8ab-3b^2=0(1)
+ Nếu b = 0 thì a = 0 (vô lý)
+ Nếu b\neq 0 thì chia 2 vế (1) cho b2 ta có
3.\left ( \frac{a}{b} \right )^2-8.\frac{a}{b}-3=0
\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} \frac{a}{b}=\frac{4-5}{3}=-\frac{1}{3}\\ \\ \frac{a}{b}=\frac{4+5}{3}=3 \end{matrix}

Trường hợp 1:

\frac{a}{b}=-\frac{1}{3}, ta chọn a = -1, b = 3
\vec{n}=(-1;3;0)
(\alpha ) đi qua O(0;0;0) có 1 VTPT \vec{n}=(-1;3;0) nên có pt -x + 3y = 0

Trường hợp 2:

\frac{a}{b}=3 chọn a=3,b=1
\vec{n}=(3;1;0)
(\alpha ) đi qua O(0;0;0) có 1 VTPT \vec{n}=(3;1;0) nên có phương trình 3x + y = 0
Vậy -x + 3y = 0, 3x + y = 0

Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!

5/5 - (1 bình chọn)
Mình là Nguyễn Mỹ Lệ - là tác giả các bài viết trong chuyên mục sổ tay Toán học - Vật lý - Hóa học. Mong rằng các bài viết của mình được các bạn đón nhận nồng nhiệt.

Related Posts

Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne)

Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức

Bài viết lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức bao gồm: Cách chia đa thức cho đa thức bằng lược đồ Hoocne, bài…

Chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip

Chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip

Chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip và công thức tính chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip. Vẽ qua A1&A2 hai đường…

Ước số là gì - Bội số là gì?

Ước số là gì – Bội số là gì?

Ước số là gì- Bội số là gì? Bài tập về ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất đưa ra một số phương pháp giải…

Công thức tính thể tích hình trụ

Công thức tính thể tích hình trụ – Ví dụ cách tính thể tích hình trụ

Thể tích hình trụ là gì? Công thức tính thể tích hình trụ, cách tính thể tích hình trụ… Công thức tính thể tích hình trụ Thể…

Thể tích hình chóp cụt

Thể tích hình chóp cụt – Công thức và ví dụ

Thể tích hình chóp cụt là gì? Công thức tính thể tích hình chóp cụt, cách tính thể tích hình chóp cụt… Công thức tính thể tích…

Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Những hằng đẳng thức đáng nhớ, hằng đẳng thức mở rộng và dạng toán áp dụng

Bài viết những hằng đẳng thức đáng nhớ bao gồm: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, các hằng đẳng thức mở rộng, các hằng đẳng thức tổng…