Góc giữa 2 vecto là gì? Cách xác định góc giữa 2 vecto, công thức tính góc giữa 2 vecto trong không gian OXYZ và các ví dụ về tính góc giữa 2 vectơ…

Định nghĩa góc giữa hai vecto

Cho hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ được mô tả như hình sau:

Số đo góc trên được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ .
Nếu số đo ấy bằng 90 độ, ta nói $\vec a$ vuông góc với $\vec b$ .

Công thức tính góc giữa 2 vecto

Tính góc giữa 2 vecto

Tìm góc dựa vào giá trị cosin của nó. Bạn có thể dùng chức năng arccos hoặc cos^-1 trong máy tính bỏ túi để tìm góc từ giá trị $cos(\vec{a};\vec{b})$ đã biết. Với một số kết quả thu được, có thể bạn sẽ tìm được góc dựa trên vòng tròn đơn vị. Tính góc giữa 2 vecto ta dựa vào công thức tích vô hướng của 2 vectơ:
Cho hai vectơ $\vec{a}(x;y);\vec{b}(x';y')$ . Khi đó:
$\vec a.\vec b=|\vec a|.|\vec b|.cos\left ( \vec a,\vec b \right )$
$cos(\vec{a};\vec{b})=\frac{xx'+yy'}{\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{x'^2+y'^2}},\vec{a}\neq \vec{0};\vec{b}\neq \vec{0}$

Công thức tính góc giữa 2 vecto trong oxyz

$\begin{matrix} (P) \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ (Q) \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{matrix}$

$\vec{n}_P=(A_1;B_1;C_1)$ là 1 VTPT của (P)
$\vec{n}_Q=(A_2;B_2;C_2)$ là 1 VTPT của (Q)

$cos(P,Q)=\left | cos(\vec{n}_P;\vec{n}_Q) \right | =\frac{\left | \vec{n}_P.\vec{n}_Q \right |}{\left | \vec{n}_P \right |\left | \vec{n}_Q \right |}$
$=\frac{\left | A_1B_2+B_1B_2+C_1C_2 \right |}{\sqrt{A^2_1+B_1^2+C^2_1} .\sqrt{A^2_2+B_2^2+C^2_2}}$

Chú ý:
$0^0\leq (\widehat{P,Q})\leq 90^0$
$(P)\perp (Q)\Leftrightarrow \vec{n}_P.\vec{n}_Q$
$\Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$

Bài tập ví dụ tính góc giữa hai vecto

Ví dụ 1: Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng
$\begin{matrix} (P): 2x+y+2z-3=0\\ (Q):x+2y-2z+4=0 \end{matrix}$

Giải:
(P) có 1 VTPT $\vec{n}_P=(2;1;2)\Rightarrow \left | \vec{n}_P \right |=3$
(Q) có 1 VTPT $\vec{n}_Q=(1;2;-2)\Rightarrow \left | \vec{n}_Q \right |=3$
$cos(P,Q)=\left | cos(\vec{n}_P;\vec{n}_Q) \right | =\frac{\left | \vec{n}_P;\vec{n}_Q \right |}{\left | \vec{n}_P\right |.\left | \vec{n}_Q \right |}\\=\frac{2+2-4}{3.3}=0$
Vậy cos(P;Q) = 0

Ví dụ 2: Cho $\begin{matrix} (P): mx+y+2z+1=0\\ (Q): x-2y-2z+3=0 \end{matrix}$
Tìm m để
$\begin{matrix} a) \ \ \ \ (P)\perp (Q)\\ b) \ (\widehat{P;Q})=60^0 \end{matrix}$

Giải:
(P) có 1 VTPT $\vec{n}_P=(m;1;2)\Rightarrow \left |\vec{n}_P \right |=\sqrt{m^2+5}$
(Q) có 1 VTPT $\vec{n}_Q=(1;-2;-2)\Rightarrow \left |\vec{n}_Q \right |=3$
a)
$(P)\perp (Q)\Leftrightarrow \vec{n}_P.\vec{n}_Q=0$
$\Leftrightarrow m-2-4=0$
$\Leftrightarrow m=6$
b)
$(\widehat{P;Q})=60^0\Leftrightarrow cos(\widehat{P;Q})=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{\left | m-2-4 \right |}{\sqrt{m^2+5}.3}=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 2\left | m-6 \right |=3\sqrt{m^2+5}$
$\Leftrightarrow 4(m^2-12m+36)=9(m^2+5)$
$\Leftrightarrow 5m^2+48m-99=0$
$\Delta '=24^2+5.99=1071$
$\Bigg \lbrack\begin{matrix} m=\frac{-24-\sqrt{1071}}{5}\\ \\ m=\frac{-24+\sqrt{1071}}{5} \end{matrix}$

Ví dụ 3: Viết phương trình $(\alpha )$ chứa OZ và tạo với (P) $x+2y-\sqrt{5}z$ một góc 600

Giải
Gọi $\vec{n}=(a;b;c) \ \ \ a^2+b^2+c^2\neq 0$
là 1 VTPT của $(\alpha )$
$\Rightarrow \vec{n}\perp \vec{k}=(0;0;1)$
$\Rightarrow C=0$
$(\widehat{(\alpha );(P)})=60^0$
$\Leftrightarrow cos(\widehat{(\alpha );(P)})=60^0=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{\left | a+2b-c\sqrt{5} \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{1^2+2^2+(\sqrt{5})^2 }}=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{\left | a+2b \right |}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{10}}=\frac{1}{2}(do \ C=0)$
$\Leftrightarrow 2\left | a+2b \right |=\sqrt{10}.\sqrt{a^2+b^2}$
$\Leftrightarrow 4(a^2+4b^2+4ab)=10(a^2+b^2)$
$\Leftrightarrow 6a^2-16ab-6b^2=0$
$\Leftrightarrow 3a^2-8ab-3b^2=0(1)$
+ Nếu b = 0 thì a = 0 (vô lý)
+ Nếu $b\neq 0$ thì chia 2 vế (1) cho b2 ta có
$3.\left ( \frac{a}{b} \right )^2-8.\frac{a}{b}-3=0$
$\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} \frac{a}{b}=\frac{4-5}{3}=-\frac{1}{3}\\ \\ \frac{a}{b}=\frac{4+5}{3}=3 \end{matrix}$

Trường hợp 1:

$\frac{a}{b}=-\frac{1}{3}$ , ta chọn a = -1, b = 3
$\vec{n}=(-1;3;0)$
$(\alpha )$ đi qua O(0;0;0) có 1 VTPT $\vec{n}=(-1;3;0)$ nên có pt -x + 3y = 0

Trường hợp 2:

$\frac{a}{b}=3$ chọn $a=3,b=1$
$\vec{n}=(3;1;0)$
$(\alpha )$ đi qua O(0;0;0) có 1 VTPT $\vec{n}=(3;1;0)$ nên có phương trình 3x + y = 0
Vậy -x + 3y = 0, 3x + y = 0