Công thức lượng giác trong tam giác nâng cao và ví dụ áp dụng

Công thức lượng giác trong tam giác hay hệ thức lượng trong tam giác bao gồm: công thức lượng giác trong tam giác vuông, công thức lượng giác trong tam giác thường…

Định lí côsin trong tam giác

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

Công thức lượng giác trong tam giác

Ta đã biết rằng: BC^2=AB^2+AC^2

hay \vec {BC}^2=\vec {AB}^2+\vec {AC}^2

Chứng minh ngắn gọn theo tích vô hướng của hai vectơ ở bài học trước ta có được điều trên.

Như vậy, ta có phát biểu về định lí côsin trong tam giác:
Trong tam giác ABC, gọi Ab=c;AC=b;BC=a, ta có:

a^2=b^2+c^2-2bc.cosA

b^2=a^2+c^2-2ac.cosB

c^2=a^2+b^2-2ab.cosC

Từ đó, ta có hệ quả sau:
cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}

cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

Định lí sin trong tam giác

Cho hình vẽ:

Công thức lượng giác trong tam giác

Ta dễ dàng nhận thấy rằng:

a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC

Chứng minh tương tự với tam giác thường, hệ thức trên vẫn đúng!

Ta rút ra được định lí sau:
Với mọi tam giác ABC, ta có:

\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R

Công thức độ dài đường trung tuyến của tam giác

Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM.

Công thức lượng giác trong tam giác

Gọi m_a;m_b;m_c lần lượt là các đường trung tuyến ứng với các cạnh a, b, c. Khi đó:

m_{a}^{2}=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}

m_{b}^{2}=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}

m_{c}^{2}=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}

Diện tích tam giác

Ngoài kiến thức tính diện tích đã học ở cấp dưới là bằng nửa tích cạnh đáy nhân với chiều cao tương ứng, ta còn được biết thêm với các công thức sau:

Với tam giác ABC, kí hiệu h_a;h_b;h_c lần lượt là các đường cao ứng với các cạnh a, b, c. R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC, p=\frac{1}{2}(a+b+c) là nửa chu vi của tam giác, ta có các công thức tính diện tích S của tam giác ABC như sau:

S=\frac{1}{2}a.h_a=\frac{1}{2}b.h_b=\frac{1}{2}c.h_c

S=\frac{1}{2}ab.sinC=\frac{1}{2}ac.sinB=\frac{1}{2}bc.sinA

S=\frac{abc}{4R}

S=pr

S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

Ví dụ áp dụng công thức lượng giác trong tam giác

Bài 1: Cho tam giác ABC có \widehat{A}=60^o, \widehat{B}=80^o,a=6. Tính hai cạnh a và c.

Hướng dẫn:

Công thức lượng giác trong tam giác

Dễ dàng tìm được \widehat{C}=180^o-60^o-80^o=40^o

Ta sẽ tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R:

\frac{a}{sinA}=2R=\frac{6}{sin60^o}=4\sqrt{3}

Vậy: \frac{b}{sinB}=4\sqrt{3}\Rightarrow b=sinB.4\sqrt{3}=6,823

\frac{c}{sinC}=4\sqrt{3}\Rightarrow c=sinC.4\sqrt{3}=4,45

Bài 2: Tam giác ABC có a=10,b=11,c=14. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính độ dài AM.

Hướng dẫn:

Công thức lượng giác trong tam giác

Ta có: AM^2=\frac{AB^2+AC^2}{2}-\frac{BC^2}{4}=\frac{11^2+14^2}{2}-\frac{10^2}{4}\\=11,55

Bài 3: Cho tam giác ABC có 3 cạnh a, b, c lần lượt là 5, 7 ,10. Cạnh của hình vuông có diện tích bằng diện tích tam giác ABC là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Công thức lượng giác trong tam giác

Áp dụng công thức Hê rông tính diện tích, ta có:

p=\frac{a+b+c}{2}=11

S=\sqrt{11(11-5)(11-10)(11-7)}\\=16,24(dvdt)

Vậy cạnh của hình vuông có cùng diện tích trên là:

a=\sqrt{S}=4,03

Bài 4: Cho hình vẽ sau, biết AD=5, BD=15 và các góc cho trước. Tính độ dài BC.

Công thức lượng giác trong tam giác
Hướng dẫn:

Xét tam giác ADB vuông tại D, ta có: AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=5\sqrt{10}

Ta có: tanABD=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}\Rightarrow \widehat{ABD}=18,43^o

\Rightarrow \widehat{ABC}=90^o-\widehat{ABD}=71,57^o

\Rightarrow \widehat{ACB}=180^o-\widehat{ABC}-\widehat{BAC}=63,43^o

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có:

R=\frac{AB}{2sinACB}=8,84

Mặc khác, R=\frac{BC}{2sinBAC}=8,84\Rightarrow BC=2R.sinBAC\\=12,5
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!

5/5 - (1 bình chọn)
Mình là Nguyễn Mỹ Lệ - là tác giả các bài viết trong chuyên mục sổ tay Toán học - Vật lý - Hóa học. Mong rằng các bài viết của mình được các bạn đón nhận nồng nhiệt.

Related Posts

Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne)

Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức

Bài viết lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức bao gồm: Cách chia đa thức cho đa thức bằng lược đồ Hoocne, bài…

Chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip

Chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip

Chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip và công thức tính chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip. Vẽ qua A1&A2 hai đường…

Ước số là gì - Bội số là gì?

Ước số là gì – Bội số là gì?

Ước số là gì- Bội số là gì? Bài tập về ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất đưa ra một số phương pháp giải…

Công thức tính thể tích hình trụ

Công thức tính thể tích hình trụ – Ví dụ cách tính thể tích hình trụ

Thể tích hình trụ là gì? Công thức tính thể tích hình trụ, cách tính thể tích hình trụ… Công thức tính thể tích hình trụ Thể…

Thể tích hình chóp cụt

Thể tích hình chóp cụt – Công thức và ví dụ

Thể tích hình chóp cụt là gì? Công thức tính thể tích hình chóp cụt, cách tính thể tích hình chóp cụt… Công thức tính thể tích…

Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Những hằng đẳng thức đáng nhớ, hằng đẳng thức mở rộng và dạng toán áp dụng

Bài viết những hằng đẳng thức đáng nhớ bao gồm: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, các hằng đẳng thức mở rộng, các hằng đẳng thức tổng…