Công thức số phức và ví dụ áp dụng

Công thức số phức: Phép cộng trừ nhân chia số phức, công thức số phức lượng giác…
Công thức số phức

Công thức cộng, trừ và nhân hai số phức

Cho hai số phức {z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}), ta có:

z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i
z_1-z_2=(a + bi) - ( c + di) = (a - c) + (b - d)i
z_1.z_2=(a + bi)( c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Nhận xét

Phép cộng và phép nhân số phức được thực hiện tương tự như đối với số thực, với chú ý i^2=-1.
Với mọi z,z'\in\mathbb{C}:
z + \overline z = 2a (với z = a + bi)
=  + ‘
z.\overline z = {\left| z \right|^2} = {\left| {\overline z } \right|^2}
\left| {z.z'} \right| = \left| z \right|.\left| {z'} \right|
\left| {z + z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|

Phép chia hai số phức

Cho hai số phức {z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}), ta có:

\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{\left( {c + di} \right)(a - bi)}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i

(Nhân cả tử và mẫu với a - bi(số phức liên hợp của mẫu)).

Chú ý
Với số phức z\ne0 ta có:

Số phức nghịch đảo của z{z^{ - 1}} = \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}\overline z .
Thương của z' chia cho z\frac{{z'}}{z} = z'.{z^{ - 1}} = \frac{{z'.\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{{z'.\overline z }}{{z.\overline z }}.

Công thức số phức lượng giác

Để viết số phức z = a + bi,(a,b \in R) dưới dạng lượng giác z = r(c{\rm{os}}\varphi + i\sin \varphi ), trước hết ta biến đổi: z = \sqrt {{a^2} + {b^2}} (\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}i).
Như vậy: r = \sqrt {{a^2} + {b^2}}. Đặt c{\rm{os}}\varphi = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin \varphi = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.
Từ đó suy ra \varphi1 acgumen của z.

Các công thức biến đổi lượng giác cần lưu ý

1 + c{\rm{os}}\varphi + i\sin \varphi = 2{\cos ^2}\frac{\varphi }{2} + 2i\sin \frac{\varphi }{2}c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2} = 2\cos \frac{\varphi }{2}\left[ {c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2} + i \sin \frac{\varphi }{2}} \right].
1 + i\tan \varphi = 1 + i\frac{{\sin \varphi }}{{c{\rm{os}}\varphi }} = \frac{1}{{c{\rm{os}}\varphi }}(c{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi ).

Ví dụ áp dụng công thức số phức

Ví dụ 1:
Cho số phức \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i. Tìm các số phức sau \overline zz^2{\left( {\overline z } \right)^3}1+z+z^2.

Lời giải:
z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i \Rightarrow \overline z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i
{z^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i} \right)^2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i
\Rightarrow {\left( {\overline z } \right)^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)^2} \\= \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i

{\left( {\overline z } \right)^3} = {\left( {\overline z } \right)^2}.\overline z = \left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) \\= \frac{{\sqrt 3 }}{4} + \frac{1}{2}i + \frac{3}{4}i - \frac{{\sqrt 3 }}{4} = i
1 + z + {z^2} = 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i + \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i \\= \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2} - \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}i

Ví dụ 2:
Tìm phần thực, phần ảo và tính mô đun của số phức z biết: \overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 - i\sqrt 2 } \right).

Lời giải:
Ta có:

\begin{array}{l} \overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 - i\sqrt 2 } \right) \\= \left( {2 + {i^2} + 2i\sqrt 2 } \right)\left( {1 - i\sqrt 2 } \right) = 5 + i\sqrt 2 \\ \Rightarrow z = 5 - i\sqrt 2 \end{array}

Vậy z có phần thực bằng 5; phần ảo bằng -\sqrt2.

Môđun: \left| z \right| = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}} = 3\sqrt 3 .

Ví dụ 3:
Tìm số phức z biết (2z - i)(1 + i) + (\overline z + 1)(1 - i) = 2 - 2i.

Lời giải:
Cho z=a+bi (a,b\in\mathbb{R}) suy ra \overline z = a - bi, từ giải thiết bài toán ta có:

(2a + 2bi - 1)(1 + i) + (a - bi + 1)(1 - i) = 2 - 2i

\Leftrightarrow 3a - 3b + (a + b - 2)i = 2 - 2i

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a - 3b = 2\\ a + b - 2 = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{3}\\ b = \frac{{ - 1}}{3} \end{array} \right.

Vậy z=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i.

Ví dụ 4:
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa \left| {z - 1 + i} \right|=2.

Lời giải:
Đặt z=x+yi (x,y\in\mathbb{R}) ta có: z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i

\left| {z - 1 + i} \right|=2 suy ra: \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y + 1)}^2}} = 2 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} = 4

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1;-1), bán kính R=2.

Ví dụ 5:
Tìm số phức liên hợp của số phức: z = (1 + i)(3 - 2i) + \frac{1}{{3 + i}}.

Lời giải:
Ta có: z = 5 + i + \frac{{3 - i}}{{(3 + i)(3 - i)}} = 5 + i + \frac{{3 - i}}{{10}}=\frac{53}{10}+\frac{9}{10}i

Suy ra số phức liên hợp của số phức z là: \overline z = \frac{{53}}{{10}} - \frac{9}{{10}}i.

Ví dụ 6:
Tìm môđun của số phức z = \frac{{(1 + i)(2 - i)}}{{1 + 2i}}.

Lời giải:
Ta có:z = \frac{{(1 + i)(2 - i)}}{{1 + 2i}} = \frac{{3 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {3 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}} = \frac{{5 + i}}{5} = 1 + \frac{1}{5}i.

Vậy môđun của số phức z là: \left| z \right| = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {26} }}{5}.

Ví dụ 7:
Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun của số phức z thỏa: {\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z.

Lời giải:
{\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z

\Leftrightarrow z = \frac{{8 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {8 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}} = \frac{{10 - 15i}}{5} = 2 - 3i.

Vậy z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3, môđun \left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {13} .

Ví dụ 8:
Tìm số phức z thỏa: \frac{{(\overline z - 1).(2 - i)}}{{\overline z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}

Lời giải:
Điều kiện: \overline z \ne -2i hay z\ne 2i

Khi đó:  \frac{{(\overline z - 1).(2 - i)}}{{\overline z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}\Leftrightarrow 2(\overline z - 1)(2 - i) = (3 + i)(\overline z + 2i)

\Leftrightarrow (\overline z - 1)(4 - 2i) = 3\overline z + 6i + iz + 2{i^2}

\Leftrightarrow (1 - 3i)\overline z = 2i + 4

\Leftrightarrow \overline z = \frac{{2i + 4}}{{1 - 3i}} = \frac{{(2i + 4)(1 + 3i)}}{{10}} = \frac{{ - 1}}{5} + \frac{7}{5}i

\Rightarrow z = \frac{{ - 1}}{5} - \frac{7}{5}i.

Ví dụ 9:
Tính số phức sau: z={\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} \right)^8}.

Lời giải:
Ta có:  \frac{{1 + i}}{{1 - i}} = \frac{{(1 + i)(1 + i)}}{2} = \frac{{2i}}{2} = i\Rightarrow \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = \frac{1}{i} = - i.

Vậy: {\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} \right)^8} = {i^{16}} + {( - i)^8} \\= {({i^2})^8} + {\left( {{{\left( { - i} \right)}^2}} \right)^4} = 1 + 1 = 2.

Ví dụ 10: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. 5.
b. -3.
c. 7i.
d. -2i.

a. 5 = 5\left( {1 + 0i} \right) = 5\left( {\cos 0 + i\sin 0} \right).
b. - 3 = 3\left( { - 1 + 0i} \right) = 3\left( {{\rm{cos}}\pi {\rm{ + sin}}\pi {\rm{i}}} \right).
c. 7i = 7\left( {0 + i} \right) = 7\left( {\cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}} \right).
d. - 2i = 2\left( {0 - i} \right) = 2\left( {\cos \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right)} \right).

Ví dụ 11: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. 1 - i\sqrt 3.
b. \sqrt 3 - i\sqrt 3 .
c. \frac{1}{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}i.
d. \frac{{7\sqrt 3 }}{3} - 7i.

a. 1 - i\sqrt 3 = 2\left( {\frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = 2\left[ {\cos \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)} \right].
b. \sqrt 3 - i\sqrt 3 = \sqrt 3 \left( {1 - i} \right) = \sqrt 6 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{i}{{\sqrt 2 }}} \right) = \sqrt 6 \left[ {\cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)} \right].
c. \frac{1}{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}i = \frac{2}{3}\left( {\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \frac{2}{3}\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right).
d. \frac{{7\sqrt 3 }}{3} - 7i = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}\left( {1 - i\sqrt 3 } \right) = \frac{{14\sqrt 3 }}{3}\left( {\frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \frac{{14\sqrt 3 }}{3}\left[ {\cos \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)} \right].

Ví dụ 12: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. \left( {1 + 3i} \right)\left( {1 + 2i} \right).
b. \left( {1 + i} \right)\left[ {1 + \left( {\sqrt 3 - 2} \right)i} \right].
c. \left( {\sqrt 2 - 2i} \right).\left[ {\sqrt 2 + \left( {3\sqrt 2 - 4} \right)i} \right].

a. \left( {1 + 3i} \right)\left( {1 + 2i} \right) = 1 + 6{i^2} + 3i + 2i = - 5 + 5i = 5\left( { - 1 + i} \right)
= 5\sqrt 2 \left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + i\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = 5\sqrt 2 \left( {\cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}} \right).
b. \left( {1 + i} \right)\left[ {1 + \left( {\sqrt 3 - 2} \right)i} \right] = 1 - \left( {\sqrt 3 - 2} \right) + \left( {\sqrt 3 - 2 + 1} \right)i
= 3 - \sqrt 3 + \left( {\sqrt 3 - 1} \right)i = \sqrt 3 \left( {\sqrt 3 - 1} \right) + \left( {\sqrt 3 - 1} \right)i
= \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + i} \right) = 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = 2\left( {\sqrt 3 - 2} \right)\left( {\cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}} \right).
c. \left( {\sqrt 2 - 2i} \right).\left[ {\sqrt 2 + \left( {3\sqrt 2 - 4} \right)i} \right] = \left( {2 + 6\sqrt 2 - 8} \right) + \left( {6 - 4\sqrt 2 - 2\sqrt 2 } \right)i
= \left( {6\sqrt 2 - 6} \right) + \left( {6 - 6\sqrt 2 } \right)i = \left( {6\sqrt 2 - 6} \right)\left( {1 - i} \right)
= \sqrt 2 \left( {6\sqrt 2 - 6} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) = \left( {12 - 6\sqrt 2 } \right)\left[ {\cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)} \right].

Ví dụ 13: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. \frac{1}{{2 + 2i}}.
b. \frac{{3 - i}}{{1 - 2i}}.
c. \frac{{1 - i\sqrt 3 }}{{1 + i}}.

a. Ta có:
\frac{1}{{2 + 2i}} = \frac{1}{{2\left( {1 + i} \right)}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{4\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)}} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left[ {\cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)} \right].
b. \frac{{3 - i}}{{1 - 2i}} = \frac{{\left( {3 - i} \right)\left( {1 + 2i} \right)}}{{\left( {1 - 2i} \right)\left( {1 + 2i} \right)}} = \frac{{3 + 2 + 6i - i}}{{1 - {{\left( {2i} \right)}^2}}} = \frac{{5 + 5i}}{{1 + 4}} = 1 + i
= \sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right).
c. \frac{{1 - i\sqrt 3 }}{{1 + i}} = \frac{2}{{\sqrt 2 }}\left[ {\cos \left( { - \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right)} \right] = \sqrt 2 \left[ {\cos \left( {\frac{{ - 7\pi }}{{12}}} \right) + i\sin \left( {\frac{{ - 7\pi }}{{12}}} \right)} \right].

Ví dụ 14: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. 1 + \frac{i}{{\sqrt 3 }}.
b. 1 + \sqrt 3 + \left( {1 - \sqrt 3 } \right)i.

a. Ta có:
1 + \frac{i}{{\sqrt 3 }} = 1 + i\tan \frac{\pi }{6} = 1 + i\frac{{\sin \frac{\pi }{6}}}{{\cos \frac{\pi }{6}}} = \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{6}}}\left( {\cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}} \right).
b. 1 + \sqrt 3 + \left( {1 - \sqrt 3 } \right)i = 1 + \tan \frac{\pi }{3} + \left( {1 - \tan \frac{\pi }{3}} \right)i = 1 + \frac{{\sin \frac{\pi }{3}}}{{\cos \frac{\pi }{3}}} + \left( {1 - \frac{{\sin \frac{\pi }{3}}}{{\cos \frac{\pi }{3}}}} \right)i
= \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{3}}}\left( {\cos \frac{\pi }{3} + \sin \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{3}}}\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right)i = \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{3}}}\left( {\cos \frac{\pi }{3} + \sin \frac{\pi }{3}} \right) - \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{3}}}\left( {\sin \frac{\pi }{3} - \cos \frac{\pi }{3}} \right)i
= \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{3}}}\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right) - \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{3}}}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right).i
= 2\sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{{12}} - i\sin \frac{\pi }{{12}}} \right) = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right].
Cách khác:
1 + \sqrt 3 + \left( {1 - \sqrt 3 } \right)i = \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \frac{{1 - \sqrt 3 }}{{1 + \sqrt 3 }}i} \right) = \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - \tan \frac{\pi }{3}}}{{1 + \tan \frac{\pi }{4}.\tan \frac{\pi }{3}}}i} \right)
= \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left[ {1 + i\tan \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{3}} \right)} \right] = \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left[ {1 + i\tan \left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right]
= \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left[ {1 + i\frac{{\sin \left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right)}}{{\cos \left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right)}}} \right] = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{{\cos \frac{\pi }{{12}}}}\left[ {\cos \left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right].
\cos \frac{\pi }{{12}} = \cos \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{3}.\cos \frac{\pi }{4} + \sin \frac{\pi }{3}.\sin \frac{\pi }{4} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}.
Do đó: 1 + \sqrt 3 + \left( {1 - \sqrt 3 } \right).i = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{{\cos \frac{\pi }{{12}}}}\left[ {\cos \left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right] = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right].
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!

5/5 - (1 bình chọn)
Mình là Nguyễn Mỹ Lệ - là tác giả các bài viết trong chuyên mục sổ tay Toán học - Vật lý - Hóa học. Mong rằng các bài viết của mình được các bạn đón nhận nồng nhiệt.

Related Posts

Chuyên đề số chính phương

Chuyên đề số chính phương

Chuyên đề số chính phương: số chính phương là số gì, định nghĩa số chính phương, tính chất số chính phương, một số dạng bài tập về…

Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne)

Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức

Bài viết lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức bao gồm: Cách chia đa thức cho đa thức bằng lược đồ Hoocne, bài…

Các hàng đẳng thức

Nhị thức Newton, cách khai triển và một số dạng bài tập áp dụng

Bài viết nhị thức Newton bao gồm: nhị thức Newton cơ bản, khai triển nhị thức Newton, tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton, nhị…

Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Những hằng đẳng thức đáng nhớ, hằng đẳng thức mở rộng và dạng toán áp dụng

Bài viết những hằng đẳng thức đáng nhớ bao gồm: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, các hằng đẳng thức mở rộng, các hằng đẳng thức tổng…

Hàm số liên tục và bài toán xét tính liên tục của hàm số

Bài viết hàm số liên tục bao gồm: định lý và định nghĩa về hàm số liên tục, xét tính liên tục của hàm số, bài tập…

Cách tìm tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit

Bài viết cách tìm tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit, đây là dạng toán cơ bản trong chương trình Giải tích 12….