Công thức số phức và ví dụ áp dụng

Công thức số phức: Phép cộng trừ nhân chia số phức, công thức số phức lượng giác…
Công thức số phức

Công thức cộng, trừ và nhân hai số phức

Cho hai số phức {z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}), ta có:

z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i
z_1-z_2=(a + bi) - ( c + di) = (a - c) + (b - d)i
z_1.z_2=(a + bi)( c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Nhận xét

Phép cộng và phép nhân số phức được thực hiện tương tự như đối với số thực, với chú ý i^2=-1.
Với mọi z,z'\in\mathbb{C}:
z + \overline z = 2a (với z = a + bi)
=  + ‘
z.\overline z = {\left| z \right|^2} = {\left| {\overline z } \right|^2}
\left| {z.z'} \right| = \left| z \right|.\left| {z'} \right|
\left| {z + z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|

Phép chia hai số phức

Cho hai số phức {z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}), ta có:

\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{\left( {c + di} \right)(a - bi)}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i

(Nhân cả tử và mẫu với a - bi(số phức liên hợp của mẫu)).

Chú ý
Với số phức z\ne0 ta có:

Số phức nghịch đảo của z{z^{ - 1}} = \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}\overline z .
Thương của z' chia cho z\frac{{z'}}{z} = z'.{z^{ - 1}} = \frac{{z'.\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{{z'.\overline z }}{{z.\overline z }}.

Công thức số phức lượng giác

Để viết số phức z = a + bi,(a,b \in R) dưới dạng lượng giác z = r(c{\rm{os}}\varphi + i\sin \varphi ), trước hết ta biến đổi: z = \sqrt {{a^2} + {b^2}} (\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}i).
Như vậy: r = \sqrt {{a^2} + {b^2}}. Đặt c{\rm{os}}\varphi = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin \varphi = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.
Từ đó suy ra \varphi1 acgumen của z.

Các công thức biến đổi lượng giác cần lưu ý

1 + c{\rm{os}}\varphi + i\sin \varphi = 2{\cos ^2}\frac{\varphi }{2} + 2i\sin \frac{\varphi }{2}c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2} = 2\cos \frac{\varphi }{2}\left[ {c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2} + i \sin \frac{\varphi }{2}} \right].
1 + i\tan \varphi = 1 + i\frac{{\sin \varphi }}{{c{\rm{os}}\varphi }} = \frac{1}{{c{\rm{os}}\varphi }}(c{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi ).

Ví dụ áp dụng công thức số phức

Ví dụ 1:
Cho số phức \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i. Tìm các số phức sau \overline zz^2{\left( {\overline z } \right)^3}1+z+z^2.

Lời giải:
z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i \Rightarrow \overline z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i
{z^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i} \right)^2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i
\Rightarrow {\left( {\overline z } \right)^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)^2} \\= \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i

{\left( {\overline z } \right)^3} = {\left( {\overline z } \right)^2}.\overline z = \left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) \\= \frac{{\sqrt 3 }}{4} + \frac{1}{2}i + \frac{3}{4}i - \frac{{\sqrt 3 }}{4} = i
1 + z + {z^2} = 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i + \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i \\= \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2} - \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}i

Ví dụ 2:
Tìm phần thực, phần ảo và tính mô đun của số phức z biết: \overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 - i\sqrt 2 } \right).

Lời giải:
Ta có:

\begin{array}{l} \overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 - i\sqrt 2 } \right) \\= \left( {2 + {i^2} + 2i\sqrt 2 } \right)\left( {1 - i\sqrt 2 } \right) = 5 + i\sqrt 2 \\ \Rightarrow z = 5 - i\sqrt 2 \end{array}

Vậy z có phần thực bằng 5; phần ảo bằng -\sqrt2.

Môđun: \left| z \right| = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}} = 3\sqrt 3 .

Ví dụ 3:
Tìm số phức z biết (2z - i)(1 + i) + (\overline z + 1)(1 - i) = 2 - 2i.

Lời giải:
Cho z=a+bi (a,b\in\mathbb{R}) suy ra \overline z = a - bi, từ giải thiết bài toán ta có:

(2a + 2bi - 1)(1 + i) + (a - bi + 1)(1 - i) = 2 - 2i

\Leftrightarrow 3a - 3b + (a + b - 2)i = 2 - 2i

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a - 3b = 2\\ a + b - 2 = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{3}\\ b = \frac{{ - 1}}{3} \end{array} \right.

Vậy z=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i.

Ví dụ 4:
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa \left| {z - 1 + i} \right|=2.

Lời giải:
Đặt z=x+yi (x,y\in\mathbb{R}) ta có: z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i

\left| {z - 1 + i} \right|=2 suy ra: \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y + 1)}^2}} = 2 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} = 4

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1;-1), bán kính R=2.

Ví dụ 5:
Tìm số phức liên hợp của số phức: z = (1 + i)(3 - 2i) + \frac{1}{{3 + i}}.

Lời giải:
Ta có: z = 5 + i + \frac{{3 - i}}{{(3 + i)(3 - i)}} = 5 + i + \frac{{3 - i}}{{10}}=\frac{53}{10}+\frac{9}{10}i

Suy ra số phức liên hợp của số phức z là: \overline z = \frac{{53}}{{10}} - \frac{9}{{10}}i.

Ví dụ 6:
Tìm môđun của số phức z = \frac{{(1 + i)(2 - i)}}{{1 + 2i}}.

Lời giải:
Ta có:z = \frac{{(1 + i)(2 - i)}}{{1 + 2i}} = \frac{{3 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {3 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}} = \frac{{5 + i}}{5} = 1 + \frac{1}{5}i.

Vậy môđun của số phức z là: \left| z \right| = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {26} }}{5}.

Ví dụ 7:
Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun của số phức z thỏa: {\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z.

Lời giải:
{\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z

\Leftrightarrow z = \frac{{8 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {8 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}} = \frac{{10 - 15i}}{5} = 2 - 3i.

Vậy z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3, môđun \left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {13} .

Ví dụ 8:
Tìm số phức z thỏa: \frac{{(\overline z - 1).(2 - i)}}{{\overline z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}

Lời giải:
Điều kiện: \overline z \ne -2i hay z\ne 2i

Khi đó:  \frac{{(\overline z - 1).(2 - i)}}{{\overline z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}\Leftrightarrow 2(\overline z - 1)(2 - i) = (3 + i)(\overline z + 2i)

\Leftrightarrow (\overline z - 1)(4 - 2i) = 3\overline z + 6i + iz + 2{i^2}

\Leftrightarrow (1 - 3i)\overline z = 2i + 4

\Leftrightarrow \overline z = \frac{{2i + 4}}{{1 - 3i}} = \frac{{(2i + 4)(1 + 3i)}}{{10}} = \frac{{ - 1}}{5} + \frac{7}{5}i

\Rightarrow z = \frac{{ - 1}}{5} - \frac{7}{5}i.

Ví dụ 9:
Tính số phức sau: z={\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} \right)^8}.

Lời giải:
Ta có:  \frac{{1 + i}}{{1 - i}} = \frac{{(1 + i)(1 + i)}}{2} = \frac{{2i}}{2} = i\Rightarrow \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = \frac{1}{i} = - i.

Vậy: {\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} \right)^8} = {i^{16}} + {( - i)^8} \\= {({i^2})^8} + {\left( {{{\left( { - i} \right)}^2}} \right)^4} = 1 + 1 = 2.

Ví dụ 10: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. 5.
b. -3.
c. 7i.
d. -2i.

a. 5 = 5\left( {1 + 0i} \right) = 5\left( {\cos 0 + i\sin 0} \right).
b. - 3 = 3\left( { - 1 + 0i} \right) = 3\left( {{\rm{cos}}\pi {\rm{ + sin}}\pi {\rm{i}}} \right).
c. 7i = 7\left( {0 + i} \right) = 7\left( {\cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}} \right).
d. - 2i = 2\left( {0 - i} \right) = 2\left( {\cos \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right)} \right).

Ví dụ 11: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. 1 - i\sqrt 3.
b. \sqrt 3 - i\sqrt 3 .
c. \frac{1}{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}i.
d. \frac{{7\sqrt 3 }}{3} - 7i.

a. 1 - i\sqrt 3 = 2\left( {\frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = 2\left[ {\cos \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)} \right].
b. \sqrt 3 - i\sqrt 3 = \sqrt 3 \left( {1 - i} \right) = \sqrt 6 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{i}{{\sqrt 2 }}} \right) = \sqrt 6 \left[ {\cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)} \right].
c. \frac{1}{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}i = \frac{2}{3}\left( {\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \frac{2}{3}\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right).
d. \frac{{7\sqrt 3 }}{3} - 7i = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}\left( {1 - i\sqrt 3 } \right) = \frac{{14\sqrt 3 }}{3}\left( {\frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \frac{{14\sqrt 3 }}{3}\left[ {\cos \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)} \right].

Ví dụ 12: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. \left( {1 + 3i} \right)\left( {1 + 2i} \right).
b. \left( {1 + i} \right)\left[ {1 + \left( {\sqrt 3 - 2} \right)i} \right].
c. \left( {\sqrt 2 - 2i} \right).\left[ {\sqrt 2 + \left( {3\sqrt 2 - 4} \right)i} \right].

a. \left( {1 + 3i} \right)\left( {1 + 2i} \right) = 1 + 6{i^2} + 3i + 2i = - 5 + 5i = 5\left( { - 1 + i} \right)
= 5\sqrt 2 \left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + i\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = 5\sqrt 2 \left( {\cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}} \right).
b. \left( {1 + i} \right)\left[ {1 + \left( {\sqrt 3 - 2} \right)i} \right] = 1 - \left( {\sqrt 3 - 2} \right) + \left( {\sqrt 3 - 2 + 1} \right)i
= 3 - \sqrt 3 + \left( {\sqrt 3 - 1} \right)i = \sqrt 3 \left( {\sqrt 3 - 1} \right) + \left( {\sqrt 3 - 1} \right)i
= \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + i} \right) = 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = 2\left( {\sqrt 3 - 2} \right)\left( {\cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}} \right).
c. \left( {\sqrt 2 - 2i} \right).\left[ {\sqrt 2 + \left( {3\sqrt 2 - 4} \right)i} \right] = \left( {2 + 6\sqrt 2 - 8} \right) + \left( {6 - 4\sqrt 2 - 2\sqrt 2 } \right)i
= \left( {6\sqrt 2 - 6} \right) + \left( {6 - 6\sqrt 2 } \right)i = \left( {6\sqrt 2 - 6} \right)\left( {1 - i} \right)
= \sqrt 2 \left( {6\sqrt 2 - 6} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) = \left( {12 - 6\sqrt 2 } \right)\left[ {\cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)} \right].

Ví dụ 13: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. \frac{1}{{2 + 2i}}.
b. \frac{{3 - i}}{{1 - 2i}}.
c. \frac{{1 - i\sqrt 3 }}{{1 + i}}.

a. Ta có:
\frac{1}{{2 + 2i}} = \frac{1}{{2\left( {1 + i} \right)}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{4\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)}} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left[ {\cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)} \right].
b. \frac{{3 - i}}{{1 - 2i}} = \frac{{\left( {3 - i} \right)\left( {1 + 2i} \right)}}{{\left( {1 - 2i} \right)\left( {1 + 2i} \right)}} = \frac{{3 + 2 + 6i - i}}{{1 - {{\left( {2i} \right)}^2}}} = \frac{{5 + 5i}}{{1 + 4}} = 1 + i
= \sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right).
c. \frac{{1 - i\sqrt 3 }}{{1 + i}} = \frac{2}{{\sqrt 2 }}\left[ {\cos \left( { - \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right)} \right] = \sqrt 2 \left[ {\cos \left( {\frac{{ - 7\pi }}{{12}}} \right) + i\sin \left( {\frac{{ - 7\pi }}{{12}}} \right)} \right].

Ví dụ 14: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. 1 + \frac{i}{{\sqrt 3 }}.
b. 1 + \sqrt 3 + \left( {1 - \sqrt 3 } \right)i.

a. Ta có:
1 + \frac{i}{{\sqrt 3 }} = 1 + i\tan \frac{\pi }{6} = 1 + i\frac{{\sin \frac{\pi }{6}}}{{\cos \frac{\pi }{6}}} = \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{6}}}\left( {\cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}} \right).
b. 1 + \sqrt 3 + \left( {1 - \sqrt 3 } \right)i = 1 + \tan \frac{\pi }{3} + \left( {1 - \tan \frac{\pi }{3}} \right)i = 1 + \frac{{\sin \frac{\pi }{3}}}{{\cos \frac{\pi }{3}}} + \left( {1 - \frac{{\sin \frac{\pi }{3}}}{{\cos \frac{\pi }{3}}}} \right)i
= \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{3}}}\left( {\cos \frac{\pi }{3} + \sin \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{3}}}\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right)i = \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{3}}}\left( {\cos \frac{\pi }{3} + \sin \frac{\pi }{3}} \right) - \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{3}}}\left( {\sin \frac{\pi }{3} - \cos \frac{\pi }{3}} \right)i
= \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{3}}}\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right) - \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{3}}}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right).i
= 2\sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{{12}} - i\sin \frac{\pi }{{12}}} \right) = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right].
Cách khác:
1 + \sqrt 3 + \left( {1 - \sqrt 3 } \right)i = \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \frac{{1 - \sqrt 3 }}{{1 + \sqrt 3 }}i} \right) = \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - \tan \frac{\pi }{3}}}{{1 + \tan \frac{\pi }{4}.\tan \frac{\pi }{3}}}i} \right)
= \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left[ {1 + i\tan \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{3}} \right)} \right] = \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left[ {1 + i\tan \left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right]
= \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left[ {1 + i\frac{{\sin \left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right)}}{{\cos \left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right)}}} \right] = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{{\cos \frac{\pi }{{12}}}}\left[ {\cos \left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right].
\cos \frac{\pi }{{12}} = \cos \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{3}.\cos \frac{\pi }{4} + \sin \frac{\pi }{3}.\sin \frac{\pi }{4} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }}.
Do đó: 1 + \sqrt 3 + \left( {1 - \sqrt 3 } \right).i = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{{\cos \frac{\pi }{{12}}}}\left[ {\cos \left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right] = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right].

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *