Công thức tính thể tích hình cầu và ví dụ áp dụng

Thể tích hình cầu là gì? Công thức tính thể tích hình cầu, cách tính thể tích hình cầu…
Công thức tính thể tích hình cầu

Công thức tính thể tích hình cầu

Thể tích hình cầu bán kính R được tính theo công thức: \displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r_{{}}^{3}

Ví dụ cách tính thể tích hình cầu

Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính thể tích khối cầu.
a) Ngoại tiếp hình lập phương
b) Nội tiếp hình lập phương.

Lời giải:

Công thức tính thể tích hình cầu
a) Bán kính khối cầu ngoại tiếp hình lập phương là
R=\frac{1}{2}AC'=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}
V_1=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi .\frac{a^3.3\sqrt{3}}{8}=\frac{a^3\pi .\sqrt{3}}{2}(đvtt)

b) Khối cầu nội tiếp hình lập phương có bán kính

2r=a\Leftrightarrow r=\frac{a}{2}
Thể tích khối cầu
V_2=\frac{4}{3}\pi .r^3=\frac{4}{3}\pi .\frac{a^3}{8}=\frac{\pi a^3}{6} (đvtt)

Ví dụ 2: Thể tích của khối cầu sẽ thay đổi như thế nào nếu.
a) Tăng bán kính lên k lần.
b) Giảm bán kính k lần.

Lời giải:

a)
R_1=k.R_2
\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{3}\pi R^3_1}{\frac{4}{3}.\pi .R^3_2}= \left ( \frac{R_1}{R_2} \right )^3=k^3
Nếu tăng bán kính lên k lần thì thể tích khối cầu tăng gấp k3 lần.
b)
R_1=\frac{1}{k}.R_2
\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{3}\pi .R^3_1}{\frac{4}{3}\pi .R^3_2}= \left ( \frac{R_1}{R_2} \right )^3=\frac{1}{k^3}
Nếu giảm bán kính k lần thì thể tích khối cầu giảm k3 lần.

Ví dụ 3:
Cho hình chóp S.ABC có SA\perp (ABC), AB=a, AC=b,\widehat{BAC}=60^0. H, K l3 h/c của A trên SB, SC.
a) CMR: 5 điểm A, B, C, H, K cùng thuộc một mặt cầu.
b) Tính thể tích khối cầu đó.

Lời giải:
Công thức tính thể tích hình cầu
a)
Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, AC
Kẻ đường trung trực Mx của cạnh AB trong (ABC)
Ta có (SAB) \perp (ABC), có giao tuyến là AB nên Mx \perp (SAB) hay Mx \perp (AHB)
Vậy Mx là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB
Tương tự kẻ Ny là đường trung trực của cạnh AC trong tam giác (ABC)
ta có Ny là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC
Trong (ABC)
Mx\cap Ny=I
I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
\left.\begin{matrix} I\in Mx\Rightarrow IA=IH=IB\\ I\in Ny\Rightarrow IA=IK=IC \end{matrix}\right\}
5 điểm A, B, C, H, K cùng thuộc mặt cầu tâm I

b)

R = IA
Trong tam giác ABC
BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.cos60^0=a^2+b^2-ab
R=\frac{BC}{2 sin\widehat{A}}=\frac{\sqrt{a^2+b^2-ab}}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}} =\sqrt{\frac{a^2+b^2-ab}{3}}
V=\frac{4}{3}.\pi .R^3=\frac{4}{3}.\pi \frac{a^2+b^2-ab}{3}.\sqrt{\frac{a^2+b^2-ab}{3}}

Trên đây là công thức tính thể tích hình cầu và ví dụ về cách tính thể tích hình cầu. Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!

3/5 - (2 bình chọn)
Mình là Nguyễn Mỹ Lệ - là tác giả các bài viết trong chuyên mục sổ tay Toán học - Vật lý - Hóa học. Mong rằng các bài viết của mình được các bạn đón nhận nồng nhiệt.

Related Posts

Chuyên đề số chính phương

Chuyên đề số chính phương

Chuyên đề số chính phương: số chính phương là số gì, định nghĩa số chính phương, tính chất số chính phương, một số dạng bài tập về…

Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne)

Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức

Bài viết lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức bao gồm: Cách chia đa thức cho đa thức bằng lược đồ Hoocne, bài…

Các hàng đẳng thức

Nhị thức Newton, cách khai triển và một số dạng bài tập áp dụng

Bài viết nhị thức Newton bao gồm: nhị thức Newton cơ bản, khai triển nhị thức Newton, tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton, nhị…

Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Những hằng đẳng thức đáng nhớ, hằng đẳng thức mở rộng và dạng toán áp dụng

Bài viết những hằng đẳng thức đáng nhớ bao gồm: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, các hằng đẳng thức mở rộng, các hằng đẳng thức tổng…

Hàm số liên tục và bài toán xét tính liên tục của hàm số

Bài viết hàm số liên tục bao gồm: định lý và định nghĩa về hàm số liên tục, xét tính liên tục của hàm số, bài tập…

Cách tìm tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit

Bài viết cách tìm tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit, đây là dạng toán cơ bản trong chương trình Giải tích 12….