Định lý talet: định lý talet trong tam giác, định lý talet trong hình thang, hệ quả định lý talet, định lý talet trong tam giác vuông, định lý talet trong không gian…

Đoạn thẳng tỉ lệ

Định nghĩa: Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ và C’D’ nếu có tỉ lệ thức

${{AB} \over {C{\rm{D}}}} = {{A'B'} \over {C'D'}}hay{{AB} \over {A'B'}} = {{C{\rm{D}}} \over {C'D'}}$

Định lý Talet thuận trong tam giác

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

$B'C' \parallel BC \\\Leftrightarrow \frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC}, \frac{BB'}{AB} = \frac{CC'}{AC}, \frac{AB'}{BB'} = \frac{AC'}{CC'}$

Định lý Talet đảo

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
Cho tam giác ABC nếu:

$\frac{AB'}{AB}=\frac{AC'}{AC}$
$\frac{AB'}{BB'}=\frac{AC'}{CC'}$
$\frac{BB'}{AB}=\frac{CC'}{AC}$
=> $a//BC$

Hệ quả của định lí Talet

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh (hoặc cắt phần kéo dài của hai cạnh) của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

=> $\frac{AB'}{AB}=\frac{AC'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}$

Định lý talet trong hình thang

Nếu một đường thẳng song song với hai đáy của hình thang và cắt hai cạnh bên thì nó định ra trên hai cạnh bên đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Cho hình thang ABCD, điểm E thuộc AD và F thuộc BC
Nếu EF // AB // CD, ta có $\frac{AE}{DE}=\frac{BF}{CF}$
Ngược lại, nếu: $\frac{AE}{DE}=\frac{BF}{CF}$ => EF // AB// CD

Định lý talet trong không gian

Định lý Thales trong không gian

Ba mặt phẳng song song chắn trên hai đường thẳng những đoạn thẳng tỷ lệ.

$\frac{{{A_1}{B_1}}}{{{B_1}{C_1}}} = \frac{{{A_2}{B_2}}}{{{B_2}{C_2}}}.$

Định lý đảo của định lý Thales trong không gian

Cho hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$ chéo nhau và các điểm ${A_1},{B_1},{C_1} \in {d_1},$ và ${A_2},{B_2},{C_2} \in {d_2}$ sao cho

$\frac{{{A_1}{B_1}}}{{{B_1}{C_1}}} = \frac{{{A_2}{B_2}}}{{{B_2}{C_2}}}.$

Khi đó các đường thẳng ${A_1}{A_2},{B_1}{B_2},{C_1}{C_2}$ cùng song song với một mặt phẳng. Hơn nữa, mặt phẳng này không duy nhất.

Ví dụ áp dụng định lý talet

Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD) AB < CD. Đường thẳng MN // với 2 đáy cắt cạnh AD, BC lần lượt tại M và N. Biết AD = 2cm, AM = 3cm, BC = 6cm. Tìm độ dài BN.

Lời giải:

Vì hình thang ABCD có AB // CD // MN

Theo định lý Talet trong hình thang ABCD ta có, $\Rightarrow \frac{AM}{AD} =\frac{BN}{BC} \Rightarrow BN = \frac{AM.BC}{AD} = \frac{3.6}{2} = 9$

Trên đây là tổng hợp kiến thức về Định lý Talet trong tam giác và định lý Talet trong hình thang.

Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$ và $M,N$ là các điểm lần lượt di động trên $BC,AD$ sao cho $\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AN}}{{ND}}.$ Chứng minh rằng $MN$ luôn song song với một mặt phẳng cố định.

Lời giải:

Áp dụng định lý Thales đảo cho $B,M,C \in BC$ và $A,N,D \in AD$ , từ tỷ lệ

$\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AN}}{{ND}}$

ta suy ra $AB,MN,CD$ cùng song song với một mặt phẳng $\left( \pi \right)$ nào đó.

Ta chọn mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $AB$ và song song với $CD.$ Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chính là $\left( {ABE} \right)$ với $E \in \left( {BCD} \right)$ sao cho $BCDE$ là hình bình hành.

Khi đó $MN\parallel \left( \pi \right)\parallel \left( \alpha \right),$ mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cố định vì $AB,CD$ cố định. Vậy $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng cần tìm.
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!