Đường trung trực của đoạn thẳng, tam giác và các tính chất

Đường trung trực: tính chất đường trung trực, đường trung trực của đoạn thẳng, đường trung trực của tam giác, tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, cách chứng minh đường trung trực…

Đường trung trực là gì?

Trong hình học phẳng, đường trung trực của một đoạn thẳng là đường vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó. Trong đường tròn, giao 2 tiếp tuyến thì điểm đó đến tâm là đường trung trực.

Đường trung trực của đoạn thẳng

Đường trung trực của đoạn thẳng là 1 đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng và đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.

Đường trung trực
Đường trung trực của đoạn thẳng AB

Đường thẳng d được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi d đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và vuông góc với đoạn thẳng đó.

Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Định lý thuận: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó

Nếu điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB thì MA = MB

Định lý đảo: Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Đường trung trực

Ta có điểm I cách đều 2 đâu mút của đoạn thẳng AB (IA = IB) nên I nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB.

Chứng minh đường trung trực

Xét trường hợp I thuộc AB. Vì IA = IB nên I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Suy ra I nằm trên đường trung trực của đoạn AB.
Xét trường hợp I không thuộc AB. Kẻ đoạn thẳng nối I với trung điểm M của đoạn thẳng AB.
Ta có:

\Delta AMI=\Delta BMI (c.c.c).

Suy ra \widehat{M_{1}}=\widehat{M_{2}}

Mặt khác: \widehat{M_{1}}+\widehat{M_{2}}=180^{0}

Suy ra: \widehat{M_{1}}=\widehat{M_{2}}=90^{0}

=> IM\perp AB

=> IM là đường trung trực của AB

=> I nằm trên đường trung trực AB

* Nhận xét: Từ định lý thuận và định lý đảo ta có

Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Đường trung trực của tam giác

Trong tam giác, ba đường trung trực đồng quy tại một điểm, điểm đó cách đều 3 đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Trong tam giác vuông tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền.

Định lý về đường trung trực của tam giác

Ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm. Giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Trong tam giác thường

Ba đường trung trực đồng quy tại một điểm, điểm đó cách đều 3 đỉnh của tam giác và là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.
đường trung trực của tam giác
Chứng minh

Vì O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC nên ta có OA = OC (1)

O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên OA= OB = (2)

Từ (1) và (2) suy ra OA = OB = OC

=> O nằm trên đường trung trực của đoạn BC (tính chất đường trung trực của 1 đoạn thẳng)

=> Ba đường trung trực của tam giác ABC cùng đi qua điểm.

Mà OA = OB = OC suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Trong tam giác vuông

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền tam giác vuông đó. Như vậy, ba đường trung trực trong tam giác vuông cắt nhau tại trung điểm của cạnh huyền tam giác vuông đó.
đường trung trực trong tam giác

Trong tam giác cân

Đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến tương ứng với cạnh này.
đường trung trực trong tam giác

Cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng

Bước 1:
Tìm vectơ pháp tuyến của đường trung trực và 1 điểm mà nó đi qua.
Bước 2:
Dựa vào tính chất 1: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Tức là nếu điểm M thuộc đường trung trực d của AB thì MA=MB.

Bài tập mẫu về đường trung trực

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Tìm một điểm O cách đều ba điểm A, B, C.

Giải:

đường trung trực

Điểm O cách đều hai điểm A, B nên suy ra điểm O nằm trên đường phân trung trực của đoạn thẳng AB.

Điểm O cách đều hai điểm B, C nên O nằm trên đường trung trực của đoạn  thẳng BC.

Điểm O cách đều ba điểm A, B, C nên suy ra O là giao điểm của các đường trung trực của tam giác ABC.

Ví dụ 2: Tam giác ABC có \widehat A là góc tù. Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau ở O và cắt BC theo thứ tự ở P và E. Đường tròn  tâm O bán kính OA đi qua những điểm nào trong hình vẽ.

Giải:

đường trung trực

Ta có O thuộc đường trung trực của đoạn AB nên suy ra OA{\rm{ }} = {\rm{ }}OB\,{\,^{(1)}}

Lại có O thuộc đường trung trực của đoạn AB nên suy ra OA{\rm{ }} = {\rm{ }}OC{\,^{\,(2)}}

Từ (1) và (2) suy ra OA = OB = OC.

Vậy đường tròn (O, OA) đi qua các điểm A, B, C.

Ví dụ 3: Xác định dạng của tam giác có giao điểm các phân giác trùng với giao điểm các đường trung trực.

Giải:

Gọi O là giao điểm các phân giác của \Delta ABC thì ta có \widehat {OAB} = \widehat {OAC};\widehat {OBA} = \widehat {OBC};\widehat {OCA} = \widehat {OCB}. Nhưng O cũng là giao điểm của các đường trung trực nên OA = OB = OC.

Do đó \widehat {OAB} = \widehat {OBA};\widehat {OAC} = \widehat {OCA}. Từ đó suy ra \widehat A = \widehat B = \widehat C

Nên \Delta ABC đều.

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC và đường phân giác AK của góc A. Biết rằng giao điểm của đường phân giác của tam giác ABK trùng với giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. Tìm số đo các góc của tam giác ABC.

Giải:

đường trung trực

Gọi O là giao điểm của ba đường phân giác của \Delta ABK. Theo đề bài, O là giao điểm của ba đường trung trực của \Delta ABC

Vậy OA = OB = OC và các tam giác AOB, BOC, COA đều là các tam giác cân đỉnh O.

Gọi \widehat {OAB} = a thì \widehat {ABC} = 2a\widehat {KAB} = 2a. Vì AK là đường phân giác của góc BAC nên nếu \widehat {KAB} = 2a thì \widehat {BAC} = 4a.

Ta có: \Delta AOB = \Delta COB nên suy ra AB = CB

Vậy \Delta ABC là tam giác cân đỉnh B.

Suy ra \widehat {BAC} = \widehat {BAC}. Ta đã biết tổng ba góc của một tam giác bằng {180^0}, từ đó:

2a + 4a + 4a = {180^0} \\\Rightarrow 10a = {180^0} \Rightarrow a = {18^0}

Vậy số đo các góc của \Delta ABClà:

\widehat A = {72^0};\,\widehat B = {36^0};\widehat C = {72^0}

Ví dụ 5: Trên ba cạnh AB, BC và CA của tam giác đều ABC. Lấy các điểm theo thứ tự M, N, P sao cho AM=BN=CP. Gọi O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh O cũng là giao điểm ba đường trung trực của tam giác MNP.

Giải:

đường trung trực

Theo giả thiết O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên ta có:

OA = OB = OC

\Rightarrow Các tam giác AOM, BON và COP có:

AM = BN = CP (giả thiết)

\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}} = {30^0} (Vì ABC là tam giác đều nên đường trung trực cũng là đường phân giác) và OA = OB = OC

\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta AOM = \Delta BON = \Delta COP\,\,\,(c.g.c)\\ \Rightarrow \,\,OM = ON = OP\end{array}

Điều này chứng tỏ O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác MNP.

Trên đây là bài viết về đường trung trực. Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!

5/5 - (1 bình chọn)
Mình là Nguyễn Mỹ Lệ - là tác giả các bài viết trong chuyên mục sổ tay Toán học - Vật lý - Hóa học. Mong rằng các bài viết của mình được các bạn đón nhận nồng nhiệt.

Related Posts

Chuyên đề số chính phương

Chuyên đề số chính phương

Chuyên đề số chính phương: số chính phương là số gì, định nghĩa số chính phương, tính chất số chính phương, một số dạng bài tập về…

Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne)

Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức

Bài viết lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức bao gồm: Cách chia đa thức cho đa thức bằng lược đồ Hoocne, bài…

Các hàng đẳng thức

Nhị thức Newton, cách khai triển và một số dạng bài tập áp dụng

Bài viết nhị thức Newton bao gồm: nhị thức Newton cơ bản, khai triển nhị thức Newton, tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton, nhị…

Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Những hằng đẳng thức đáng nhớ, hằng đẳng thức mở rộng và dạng toán áp dụng

Bài viết những hằng đẳng thức đáng nhớ bao gồm: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, các hằng đẳng thức mở rộng, các hằng đẳng thức tổng…

Hàm số liên tục và bài toán xét tính liên tục của hàm số

Bài viết hàm số liên tục bao gồm: định lý và định nghĩa về hàm số liên tục, xét tính liên tục của hàm số, bài tập…

Cách tìm tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit

Bài viết cách tìm tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit, đây là dạng toán cơ bản trong chương trình Giải tích 12….