Cách xác định và phương pháp tính góc giữa 2 mặt phẳng

Bài viết góc giữa 2 mặt phẳng bao gồm: cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng, tính góc giữa 2 mặt phẳng, công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng, góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian oxyz…

Định nghĩa góc giữa 2 mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Góc giữa 2 mặt phẳng

Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng

TH1: Hai mặt phẳng \left( P \right),\left( Q \right) song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng {0^0}.

TH2: Hai mặt phẳng \left( P \right),\left( Q \right) không song song hoặc trùng nhau.

Cách 1:

+) Dựng hai đường thẳng n,p lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng \left( P \right)\left( Q \right).

+) Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng \left( P \right)\left( Q \right) là góc giữa hai đường thẳng n,p.

Góc giữa 2 mặt phẳng

Cách 2:

+) Xác định giao tuyến \Delta của hai mặt phẳng \left( P \right),\left( Q \right).

+) Tìm một mặt phẳng \left( R \right) vuông góc \Delta và cắt và hai mặt phẳng theo các giao tuyến a,b.

+) Góc giữa hai mặt phẳng \left( P \right),\left( Q \right) là góc giữa ab.

Góc giữa 2 mặt phẳng

Phương pháp tính góc giữa 2 mặt phẳng

Bài toán: Cho hai mặt phẳng (α)(β) cắt nhau, tính góc giữa hai mặt phẳng (α)(β).

Ta áp dụng một trong các phương pháp sau đây:

Phương pháp 1
Dựng hai đường thẳng a, b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng \left( \alpha \right)\left( \beta \right). Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng \left( \alpha \right)\left( \beta \right)\left( {\widehat {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)}} \right) = \left( {\widehat {a,b}} \right). Tính góc \left( {\widehat {a,b}} \right).

Phương pháp 2
+ Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng \left( \alpha \right)\left( \beta \right).
+ Dựng hai đường thẳng a, b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến c tại một điểm trên c. Khi đó: \left( {\widehat {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)}} \right) = \left( {\widehat {a,b}} \right).

Góc giữa 2 mặt phẳng

Hiểu cách khác: Ta xác định mặt phẳng phụ \left( \gamma \right) vuông góc với giao tuyến c\left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right) = a, \left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = b. Suy ra \left( {\widehat {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)}} \right) = \left( {\widehat {a,b}} \right).

Phương pháp 3 (trường hợp đặc biệt)

Góc giữa 2 mặt phẳng

Nếu có một đoạn thẳng nối hai điểm A, B \left( {A \in \left( \alpha \right), B \in \left( \beta \right)} \right)AB \bot \left( \beta \right) thì qua A hoặc B ta dựng đường thẳng vuông góc với giao tuyến c của hai mặt phẳng tại H. Khi đó \left( {\widehat {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)}} \right) = \widehat {AHB}.

Bài tập ví dụ tính góc giữa 2 mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy ABCD bằng aSA = SB = SC = SD = a. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng \left( {SAB} \right)\left( {SAD} \right).

Lời giải:
Góc giữa 2 mặt phẳng

Gọi I là trung điểm SA. Do tam giác SADSAB đều nên:
\left\{ \begin{array}{l} BI \bot SA\\ DI \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {SAB} \right),\left( {SAD} \right)}} \right) = \left( {\widehat {BI,DI}} \right).
Áp dụng định lý cosin cho tam giác BID ta có:
\cos \widehat {BID} = \frac{{I{B^2} + I{D^2} - B{D^2}}}{{2IB.ID}} = \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}a} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}a.\frac{{\sqrt 3 }}{2}a}} = - \frac{1}{3}.
Vậy \cos \left( {\widehat {\left( {SAB} \right),\left( {SAD} \right)}} \right) = \frac{1}{3}.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a, SA vuông góc với \left( {ABCD} \right)SA = a\sqrt 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng \left( {SBC} \right)\left( {SCD} \right).

Lời giải:
Góc giữa 2 mặt phẳng
ABCD là nửa lục giác đều nên AD = DC = CB = a.
Dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với \left( {SCD} \right).
Trong mặt phẳng \left( {ABCD} \right) dựng AH \bot CD tại H \Rightarrow CD \bot \left( {SAH} \right).
Trong mặt phẳng \left( {SAH} \right) dựng AP \bot SH \Rightarrow CD \bot AP \Rightarrow AP \bot \left( {SCD} \right).
Dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với \left( {SBC} \right).
Trong mặt phẳng \left( {SAC} \right) dựng AQ \bot SC.
Lại có AQ \bot BC\left\{ \begin{array}{l} BC \bot AC\\ BC \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot AQ.
Vậy AQ \bot \left( {SBC} \right).

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng \left( {SBC} \right)\left( {SCD} \right) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng ấy là APAQ.
Ta tính góc \widehat {PAQ}, có AH = \sqrt {A{D^2} - H{D^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.
\Rightarrow \frac{1}{{A{P^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} \Rightarrow AP = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }}.
Tam giác SAC vuông cân tại A \Rightarrow AQ = \frac{{SC}}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.
\Delta APQ vuông tại P \Rightarrow \cos \widehat {PAQ} = \frac{{AP}}{{AQ}} = \frac{{\sqrt {10} }}{5} \Rightarrow \widehat {PAQ} = \arccos \frac{{\sqrt {10} }}{5}.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a, SA \bot \left( {ABC} \right), SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng \left( {SEF} \right)\left( {SBC} \right).

Lời giải:
Góc giữa 2 mặt phẳng
Nhận xét: Giao tuyến của hai mặt phẳng \left( {SEF} \right)\left( {SBC} \right) là đường thẳng St đi qua S và song song với EFBC nên ta xác định hai đường thẳng qua S và lần lượt nằm trong hai mặt phẳng \left( {SEF} \right)\left( {SBC} \right) và cùng vuông góc với St (ta đi chứng minh hai đường thẳng đó là SESB).

\left\{ \begin{array}{l} EF \subset \left( {SEF} \right)\\ BC \subset \left( {SBC} \right)\\ EF {\rm{//}} BC \end{array} \right. ⇒ giao tuyến của \left( {SEF} \right)\left( {SBC} \right) là đường thẳng qua S, song song với BC, là St.

Ta có \left\{ \begin{array}{l} BC \bot AB\\ BC \bot SA\left( {vì SA \bot \left( {ABC} \right)} \right) \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB hay St \bot SB.
Tương tự EF \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow EF \bot SEEF {\rm{//}} St \Rightarrow St \bot SE.
Vậy SBSE cùng đi qua S và cùng vuông góc với St nên góc giữa hai mặt phẳng \left( {SEF} \right)\left( {SBC} \right) bằng góc giữa hai đường thẳng SBSE.
Ta tính góc \widehat {BSE}.
SE = \sqrt {S{A^2} + A{E^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}; SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = a\sqrt 2; BE = \frac{a}{2}.
Theo định lí cosin ta có: \cos \widehat {BSE} = \frac{{S{E^2} + S{B^2} - B{E^2}}}{{2.SE.SB}} = \frac{3}{{\sqrt {10} }} \Rightarrow \widehat {BSE} = \arccos \frac{3}{{\sqrt {10} }}.
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!

5/5 - (1 bình chọn)
Mình là Nguyễn Mỹ Lệ - là tác giả các bài viết trong chuyên mục sổ tay Toán học - Vật lý - Hóa học. Mong rằng các bài viết của mình được các bạn đón nhận nồng nhiệt.

Related Posts

Chuyên đề số chính phương

Chuyên đề số chính phương

Chuyên đề số chính phương: số chính phương là số gì, định nghĩa số chính phương, tính chất số chính phương, một số dạng bài tập về…

Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne)

Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức

Bài viết lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức bao gồm: Cách chia đa thức cho đa thức bằng lược đồ Hoocne, bài…

Các hàng đẳng thức

Nhị thức Newton, cách khai triển và một số dạng bài tập áp dụng

Bài viết nhị thức Newton bao gồm: nhị thức Newton cơ bản, khai triển nhị thức Newton, tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton, nhị…

Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Những hằng đẳng thức đáng nhớ, hằng đẳng thức mở rộng và dạng toán áp dụng

Bài viết những hằng đẳng thức đáng nhớ bao gồm: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, các hằng đẳng thức mở rộng, các hằng đẳng thức tổng…

Hàm số liên tục và bài toán xét tính liên tục của hàm số

Bài viết hàm số liên tục bao gồm: định lý và định nghĩa về hàm số liên tục, xét tính liên tục của hàm số, bài tập…

Cách tìm tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit

Bài viết cách tìm tập xác định của hàm số mũ và hàm số logarit, đây là dạng toán cơ bản trong chương trình Giải tích 12….