Bài viết khoảng cách giữa 2 đường thẳng bao gồm: công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng, khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong oxyz, khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong không gian…

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong mặt phẳng oxy

Cho 2 đường thẳng chéo nhau:
d₁ đi qua A có 1 VTCP $\overrightarrow{u_1}$
d₂ đi qua B có 1 VTCP $\overrightarrow{u_2}$

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d₁

$d(M,{d_1}) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{d_1}} } \right]} \right|}}\[\left| {\overrightarrow {{d_1}} } \right|$

Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1 d2

$d({d_1},{d_2}) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{d_1}} ,\overrightarrow {{d_2}} } \right]\overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{d_1}} ,\overrightarrow {{d_2}} } \right]} \right|}}$

Ví dụ:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${d_1}:\frac{{x + 7}}{3} = \frac{{y - 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 9}}{4},\,{d_2}:\frac{x}{3} = \frac{{y + 4}}{{ - 1}} = \frac{{z + 18}}{4}$ . Tính khoảng cách giữa d1 và d2.

Ta dễ dàng kiểm tra được d1 và d2 là hai đường thẳng song song, nên ta chỉ việc lấy một điểm bất kì thuộc d1, và tính khoảng cách từ điểm đó đến d2.

Gọi $M( - 7;5;9) \in {d_1}$ , $H(0; - 4; - 18) \in {d_2}$ .

Ta có:

$\overrightarrow {MH} = \left( {7; - 9; - 27} \right)$

$VTCP\,{d_2}:\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( {3; - 1;4} \right)\,$

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MH} ;\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = ( - 63; - 109;20)$

Vậy: $d({d_1};{d_2}) = d(M,{d_2}) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MH} ,\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right|}} = 25$

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng trong oxyz

Cách 1:
$\Delta _1$ đi qua M1. có 1 VTCP $\overrightarrow{u_1}$
$\Delta _2$ đi qua M2. có 1 VTCP $\overrightarrow{u_2}$
$d(\Delta _1;\Delta _2)=\frac{\left | [\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}] .\overrightarrow{M_1M_2}\right |}{[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}]}$

Cách 2:
AB là đoạn vuông góc chung $\Delta _1$ , $\Delta _2$
$A\in \Delta _1, B\in \Delta _2$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_1}=0\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_2}=0 \end{matrix}\right.$
$d(\Delta _1;\Delta _2)=AB$

Ví dụ:

Cho $(d_1)\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=2+t\\ z=-3+3t \end{matrix}\right.(d_2)\left\{\begin{matrix} x=2+u\\ y=-3+2u\\ z=1+3u \end{matrix}\right.$
a) CMR: d1, d2 chéo nhau
b) Tính d(d1;d2)

Lời giải:
a)
d1 đi qua M1(1;2;-3), có 1 VTCP $\overrightarrow{u_1}=(2;1;3)$
d2 đi qua M2(2;-3;1), có 1 VTCP $\overrightarrow{u_2}=(1;2;3)$
$\left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ]= \left ( \begin{vmatrix} 1 \ \ 3\\ 2 \ \ 3 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 3 \ \ 2\\ 3 \ \ 1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 2 \ \ 1\\ 1 \ \ 2 \end{vmatrix} \right )\\=(-3;-3;3)$
$\overrightarrow{M_1M_2}=(1;-5;4)$
$\left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ].\overrightarrow{M_1M_2}= -3.1+(-3)(-5)+3.4\\=24\neq 0$
Vậy d1, d2 chéo nhau
b)
Cách 1:
$d(d_1;d_2)=\frac{\left | [\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}.\overrightarrow{M_1M_2 }] \right |}{\left | \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right |}\\= \frac{24}{\sqrt{(-3)^2+(-3)^2+3^2}}=\frac{24}{3\sqrt{3}}=\frac{8}{\sqrt{3}}$
$=\frac{8\sqrt{3}}{3}$
Cách 2:
$A(1+2t;2+t;-3+3t)\in d_1$
$B(2+u;-3+2u;1+3u)\in d_2$
AB là đoạn vuông góc chung
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_1}=0\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_2}=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t\\ u \end{matrix}\right.$
AB = d(d1;d2)

Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau: Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b. Khi đó $d\left( {a,b} \right) = MN$ . Sau đây là một số cách dựng đoạn vuông góc chung thường dùng :
Phương pháp 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa đường thẳng ∆ và song song với ∆’. Khi đó $d(\Delta ,\Delta ') = d(\Delta ',(\alpha ))$

Phương pháp 2: Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm.

Phương pháp 3: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó.
Trường hợp 1: ∆ và ∆’ vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau

Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa ∆’ và vuông góc với ∆ tại I.
Bước 2: Trong mặt phẳng (α) kẻ $IJ \bot \Delta '$ .

Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung và $d(\Delta ,\Delta ') = IJ$ .

Trường hợp 2: ∆ và ∆’ chéo nhau mà không vuông góc với nhau

Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa ∆’ và song song với ∆.
Bước 2: Dựng d là hình chiếu vuông góc của ∆ xuống (α) bằng cách lấy điểm $M \in \Delta$ dựng đoạn $MN \bot \left( \alpha \right)$ , lúc đó d là đường thẳng đi qua N và song song với ∆.
Bước 3: Gọi $H = d \cap \Delta '$ , dựng $HK\parallel MN$

Khi đó HK là đoạn vuông góc chung và $d(\Delta ,\Delta ') = HK = MN$ .

Hoặc

Bước 1: Chọn mặt phẳng $(\alpha ) \bot \Delta$ tại I.
Bước 2: Tìm hình chiếu d của ∆’ xuống mặt phẳng (α).
Bước 3: Trong mặt phẳng (α), dựng $IJ \bot d$ , từ J dựng đường thẳng song song với ∆ cắt ∆’ tại H, từ H dựng $HM\parallel IJ$ .

Khi đó HM là đoạn vuông góc chung và $d(\Delta ,\Delta ') = HM = IJ$ .

Sử dụng phương pháp vec tơ
a) MN là đoạn vuông góc chung của AB và CDkhi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = x\overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {CN} = y\overrightarrow {CD} \\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AB} = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CD} = 0\end{array} \right.$
b) Nếu trong (α) có hai vec tơ không cùng phương $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ thì $OH = d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OH} \bot \overrightarrow {{u_1}} \\\overrightarrow {OH} \bot \overrightarrow {{u_2}} \\H \in \left( \alpha \right)\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\\overrightarrow {OH} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\\H \in \left( \alpha \right)\end{array} \right.$ .
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!