Phương trình mặt phẳng oxyz: phương trình mặt phẳng trong không gian, viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm, viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng…

Phương trình mặt phẳng trong không gian

Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong không gian Oxyz có dạng:

Ax + By + Cz + D = 0 với $A^{2}+B^{2}+C^{2}> 0$

Muốn viết phương trình mặt phẳng trong không gian ta cần xác định được 2 dữ kiện:

Điểm M bất kì mà mặt phẳng đi qua
Vector pháp tuyến của mặt phẳng

Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho 2 mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 thì:

Hai mặt phẳng cắt nhau khi và chỉ khi: $\frac{A}{A'} \neq \frac{B}{B'} \neq \frac{C}{C'}$

Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi: $\frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} \neq \frac{D}{D'}$

Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi: $\frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} = \frac{D}{D'}$

Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi: $AA' + BB' + CC' = 0$

Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

Cho điểm M(a, b, c) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.

Khi đó khoảng cách từ điểm M tới (P) được xác định như sau:

$d(A, (P)) = \frac{\left | Aa + Bb + Cc + D \right |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$

Viết phương trình mặt phẳng

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết 1 điểm thuộc mặt phẳng và vector pháp tuyến

Vì mặt phẳng (P) đi qua điểm $M(x_{0}; y_{0}; z_{0})$

Mặt phẳng (P) có vector pháp tuyến $\vec{n}(A, B, C)$

Khi đó phương trình mặt phẳng (P): $A(x-x_{0}) + B(y-y_{0}) + C(z-z_{0}) = 0$

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M (3;1;1) và có VTPT $\vec{n} = (1; -1; 2)$

Giải: Thay tọa độ điểm M và VTPP $\vec{n}$ ta có:

(P): $(1)(x - 3) + (-1)(y - 1) + 2(z - 1) = 0 \\\Leftrightarrow x - y + 2z - 4 = 0$

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng

Vì mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B, C. Nên mặt phẳng (P) có 1 cặp vector chỉ phương là $\vec{AB} ; \vec{AC}$

Khi đó ta gọi $\vec{n}$ là một vector pháp tuyến của (P), thì $\vec{n}$ sẽ bằng tích có hướng của hai vector $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ . Tức là $\vec{n} = \left [ \vec{AB};\vec{AC} \right ]$

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(1,1,3); B(-1,2,3); C(-1;1;2)

Giải:

Ta có: $\vec{AB} = (-2;1;0); \vec{AC} = (-2,0,-1) \\\Rightarrow \left [ \vec{AB},\vec{AC} \right ] = (-1,-2,2)$

Suy ra mặt phẳng (P) có VTPT là $\vec{n} = \left [ \vec{AB},\vec{AC} \right ] = (-1,-2,2)$ và đi qua điểm A(1,1,3) nên có phương trình:

$(-1)(x - 1) - 2(y - 1) + 2(z - 3) = 0\\\Leftrightarrow -x - 2y + 2z - 3 = 0$

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 mặt phẳng khác

Mặt phẳng (P) đi qua điểm $M(x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và song song với mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz + m =0

Vì M thuộc mp(P) nên thế tọa độ M và pt (P) ta tìm được M.

Khi đó mặt phẳng (P) sẽ có phương trình là:

$A(x - x_{0}) + B(y - y_{0}) + C(z - z_{0}) = 0$

Chú ý: Hai mặt phẳng song song có cùng vector pháp tuyến.

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1;-2;3) và song song với mặt phẳng (Q): 2x – 3y + z + 5 = 0

Giải: Vì (P) song song với (Q) nên VTPT của (P) cùng phương với VTPT của (Q).

Suy ra (P) có dạng: 2x – 3y + z + m = 0

Mà (P) đi qua M nên thay tọa độ M (1;-2;3) ta có:

$2.1 + (-3).(-2) + 3 + m = 0 \Leftrightarrow m = -11$

Vậy phương trình (P): 2x – 3y + z – 11 = 0

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 đường thẳng và 1 điểm cho trước

Mặt phẳng (P) đi qua điểm $M(x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và đường thẳng d.

Lấy điểm A thuộc đường thẳng d ta tìm được vector $\vec{MA}$ và VTCP $\vec{u}$ , từ đó tìm được VTPT $2.1 \vec{n} = \left [ \vec{MA};\vec{u} \right ]$ .

Thay tọa độ ta tìm được phương trình mặt phẳng (P)

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (3;1;0) và đường thẳng d có phương trình: $\frac{x - 3}{-2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 1}{1}$

Giải: Lấy điểm A (3;-1;-1) thuộc đường thẳng d.

Suy ra $\vec{MA} (0; -2; -1)$ và VTCP $\vec{u} (-2; 1; 1)$

Mặt phẳng (P) chứa d và đi qua M nên ta có VTPT: $\vec{n} = \left [ \vec{MA};\vec{u} \right ] = (-1; 2; 4)$

Vậy phương trình mặt phẳng (P): $-1(x - 3) + 2(y - 1) - 4z = 0\\\Leftrightarrow -x + 2y - 4z + 1 = 0$

Bài tập phương trình mặt phẳng

Ví dụ 1: ( Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng )

Trong không gian với hệ trục Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;2;0) và vuông góc với đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}.$

Lời giải:

Gọi $\overrightarrow {{n_{(P)}}}$ là VTPT của mặt phẳng (P).

$\overrightarrow {{u_d}}$ là VTCP của đường thẳng d.

Mặt phẳng (P) vuông góc với $\left( d \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{\left( d \right)}}} = \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {2;1; - 1} \right)$ và đi qua điểm A(1;2;0).