Số phức: Số phức là gì, Cộng trừ số phức, Phép nhân số phức, Phép chia số phức, Dạng lượng giác của số phức, Ứng dụng của số phức…

Số phức là gì?

Số phức là biểu thức dạng a + bi trong đó a, b là số thực và $i^{2}= -1$
Đối với số phức z = a + bi thì ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z, i là đơn vị ảo.
Tập hợp các số phức kí hiệu là C.

Nhận xét:

Mỗi số thực a đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0
Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

Hai số phức bằng nhau

Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau.
Số phức z = a + bi và z’ = c + di bằng nhau $\Leftrightarrow$ a = c và b = d
Ví dụ: tìm các số thực x, y biết (2x + 1) + 3yi = (x + 2) + (y + 2)i
Lời giải: Vì hai số phức bằng nhau nên $\left\{\begin{matrix} 2x + 1 = x + 2 & \\ 3y = y + 2 & \end{matrix}\right.$
Suy ra x = 1, y = 1

Mô đun của số phức

Giả sử M(a;b) là điểm biểu diễn số phức z = a + bi trên mặt phẳng tọa độ.
Độ dài của $\vec{OM}$ chính là mô đun của số phức z. Kí hiệu là |z|.
Ta có: |z|= $|\vec{OM}|$ = |a+bi|= $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

Số phức liên hợp

Cho số phức z = a + bi, ta gọi a – bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là $\bar{z}=a-bi$
Ví dụ: z = 1 + 2i thì $\bar{z}=1 - 2i$

Một số tính chất của số phức liên hợp:

Biểu diễn hình học của số phức

Mỗi số phức z = a + bi được xác định được bởi cặp số thực (a; b)
Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a,b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.
Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.

Các phép toán với số phức

Cộng trừ số phức

Số đối của số phức z = a + bi là -z = -a – bi
Phép cộng và trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng trừ đa thức
Cho z = a + bi và z’ = c + di.
Tổng quát: z + z’ = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
z – z’ = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
Ví dụ: (5 + 2i) + (6 + i) = (5 + 6) + (2 + 1)i = 11 + 3i
(5 + 2i) – (6 + i) = (5 – 6) + (2 – 1)i = -1 + i

Phép nhân số phức

Phép nhân số phức có tính chất như phép nhân số thực
Tổng quát: (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
Ví dụ : (2 – 3i)(6 + 4i) = 12 + 8i – 18i – $12i^{2}$ = 12 + 18i – 8i + 12 = 24 – 10i

Phép chia số phức

Số nghịch đảo của số phức $z = a + bi \neq 0$ là $z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{\left | z \right |^{2}}$
Hay $\frac{1}{a + bi} = \frac{a - bi}{a^{2} + b^{2}}$
Cho hai số phức $z = a + bi \neq 0$ và $z' = a' + b'i$
Thì $\frac{z}{z'} = \frac{z'\bar{z}}{\left | z \right |^{2}}$
hay $\frac{a' + b'i}{a + bi} = \frac{(a' + b'i)(a - bi)}{a^{2} + b^{2}}$

Ví dụ: Tìm $z=\frac{4+2i}{1+i}$
Giải: Ta có z(1 + i) = 4 + 2i.
Nhân cả hai vế của phương trình trên với liên hợp của 1 + i là 1 – i ta được:
(1 + i)(1 – i)z = (1 – i)(4 + 2i)
=> 2z = 6 – 2i
=> z = 3 – i
Vậy: $3-i=\frac{4+2i}{1+i}$

Dạng lượng giác của số phức

Trong mặt phẳng phức cho số phức z với $z\neq 0$ được biểu diễn bởi vector $\vec{OM}$ với M(a;b).
Góc lượng giác $(\vec{Ox},\vec{OM}) = \varphi + 2k\pi , k\epsilon \mathbb{Z}$
Số đo của mỗi góc lượng giác trên được gọi là một acgumen của z.
Gọi $\varphi$ là một acgumen và r > 0 là mô đun của số phức z = a + bi khác 0 dạng lượng giác của z là:
$z=r(acos\varphi +isin\varphi )$
Với $r=\sqrt{a^2+b^2}$
và $\varphi$ định bởi $cos\varphi =\frac{a}{r}$ và $sin\varphi =\frac{b}{r}$
Ghi chú:

|z| = 1 $\Leftrightarrow$ $z=(cos\varphi +isin\varphi )$ , $\varphi \in R$
z = 0 thì |z| = r = 0 nhưng acgumen của z không xác định xem như tùy ý.
Nhân chia số phức ở dạng lượng giác:
Cho $z=r(cos\varphi +isin\varphi )$ , $z'=r'(cos\varphi' +isin\varphi')$ (r >0, r’ >0)
$z.z'=r.r'(cos(\varphi+\varphi') +isin(\varphi+\varphi') )$
$\frac{z}{z'}=\frac{r}{r'}[cos(\varphi -\varphi ')+isin(\varphi -\varphi ')]$
khi r > 0

Ứng dụng của số phức

Sử dụng số phức vào giải hệ phương trình
Xét hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} f(x;y) = g(x;y) (1) & \\ h(x;y) = k(x;y) (2) & \end{matrix}\right.$
Lấy (2) nhân i sau đó cộng/trừ (1) vế theo vế ta được:
f(x;y) + h(x;y)i = g(x;y) + k(x;y)i (*)
Đặt z = x + yi, biểu diễn (*) thông qua các đại lượng z, mô đun z…

Ví dụ: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x + \frac{3x - y}{x^{2}+y^{2}} = 3 (1) & \\ y = \frac{x + 3y}{x^{2} + y^{2}} (2)& \end{matrix}\right.$
Giải: Lấy (2) nhân i sau đó cộng với (1) ta được:
$x + yi + \frac{(3x-y)-(x + 3y)i}{x^{2} + y^{2}} = 3$
$\Leftrightarrow x + yi+ \frac{3(x - yi)}{x^{2} + y^{2}} - \frac{(x-yi)i}{x^{2} + y^{2}} = 3 (*)$
Đặt z = x + yi với x, y $\epsilon \mathbb{R}$ .
$\Rightarrow (*) \Leftrightarrow z + \frac{(3 - i)\bar{z}}{\left | z \right |^{2}} = 3 \Leftrightarrow z + \frac{(3 - i)}{z} = 3$
$\Leftrightarrow$ z = 2 + i hoặc z = 1 – i
$x + yi = 2 + i \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 2 & \\ y = 1 & \end{matrix}\right.$
$x + yi = 1 - i \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 1 & \\ y = -1 & \end{matrix}\right.$
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: (x;y) = (2;1), (x;y) = (1,-1)