Thể tích hình nón là gì? Công thức tính thể tích hình nón, cách tính thể tích hình nón…

Công thức tính thể tích hình nón

$V=\frac{1}{3}.\pi .R^{2}.h$
$(=\frac{1}{3}.S_{day}.h)$

R: bán kính hình tròn đáy
h: chiều cao ( khoảng cách từ đỉnh tới đáy)

Ví dụ cách tính thể tích hình nón

Ví dụ 1: Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 5cm, bán kính hình tròn đáy là 3cm. Tính thể tích khối nón.
$\left\{\begin{matrix} l=5cm\\R=3cm \end{matrix}\right.$

Lời giải:

Gọi O là đỉnh khối nón
H là tâm hình tròn
A là điểm thuộc đường tròn đáy
OA=5cm, HA=3cm
Trong tam giác vuông OHA,
$OH=\sqrt{OA^{2}-HA^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$
$V=\frac{1}{3}\pi .R^{2}.h=\frac{1}{3}\pi .3^{2}.4=12\pi (cm^{3})$
Ví dụ 2: Cho khối nón có góc ở đỉnh bằng $60^{\circ}$ độ dài đường sinh bằng 6cm. Tính thể tích khối nón.

Lời giải:

Gọi O là đỉnh khối nón. Kẻ đường kính AB của hình tròn đáy tâm H.

Theo bài ra,
$\widehat{AOH}=30^{\circ}$ , OA = OB = 6(cm)
Suy ra, $\Delta OAB$ đều nên AB=6cm
$\Rightarrow R=HA=3(cm)$
Trong tam giác vuông OHA, $\widehat{AOH}=30^{\circ}$
$OH=OA.\cos30^{\circ}=6.\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}(cm)$
$V=\frac{1}{3}.\pi .3^{2}.3\sqrt{3}=9\pi \sqrt{3}(cm^{3})$
Chú ý: $OH=\sqrt{OA^{2}-HA^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3\sqrt{3}$ hoặc $OH=HA.\cot30^{\circ}=3\sqrt{3}$

Ví dụ 3: Cho $\Delta ABC$ vuông tại A, AB=8(cm), BC=10(cm). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho đường gấp khúc
a) ACB quay quanh AB.
b) ABC quay quanh AC.
a) BAC quay quanh BC.

Lời giải:

Trong tam giác vuông ABC,
$AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6(cm)$
a) Khi đường gấp khúc ACB quay quanh AB ta được hình nón có chiều cao h=AB=8(cm), bán kính R=AC=6(cm).
$V=\frac{1}{3}.\pi .R^{2}.h=\frac{1}{3}.\pi .6^{2}.8=96\pi (cm^{3})$
b) Khi đường gấp khúc ABC quay quanh AC ta được hình nón có chiều cao h=AC=6(cm), bán kính R=AB=8(cm).
$V=\frac{1}{3}.\pi .R^{2}.h=\frac{1}{3}.\pi .8^{2}.6=128\pi (cm^{3})$
c) Khi đường gấp khúc BAC quay quanh BC ta được 2 hình nón.
+ Hình nón thứ nhất tạo thành khi cho đường gấp khúc BAH quay quanh BH
R1=AH, h1=BH.
Trong tam giác vuông ABC:
$\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}=\frac{1}{8^{2}}+\frac{1}{6^{2}}=\frac{10^{2}}{8^{2}.6^{2}}$

$\Rightarrow R_{1}=AH=\frac{8.6}{10}=\frac{24}{5}$
$h_{1}=BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{8^{2}-\frac{8^{2}.6^{2}}{10^{2}}}\\=8\sqrt{\frac{10^{2}-6^{2}}{10^{2}}}=\frac{8^{2}}{10}=\frac{32}{5}$ $V_{1}=\frac{1}{3}.\pi .R_{1}^{2}.h_{1}=\frac{1}{3}.\pi .\frac{48^{2}}{10^{2}}.\frac{32}{5}=\frac{6144}{125}(cm^{3})$
+ Hình nón thứ hai tọa thành khi cho đường gấp khúc HAC quay quanh HC.
$\Rightarrow R_{1}=AH=\frac{24}{5}$
$h_{2}=HC=BC-HB=10-\frac{32}{5}=\frac{18}{5}$
$V_{2}=\frac{1}{3}.\pi .R_{2}^{2}.h_{2}=\frac{1}{3}.\pi .\frac{24^{2}}{5^{2}}.\frac{18}{5}=\frac{3456}{125}(cm^{3})$
$V=V_{1}+V_{2}=\frac{384}{5}(cm^{3})$
Cách 2: $V=V_{1}+V_{2}=\frac{1}{3}\pi R_{1}^{2}.h_{1}+\frac{1}{3}\pi R_{2}^{2}.h_{2}$
$=\frac{1}{3}\pi R_{1}^{2}.(h_{1}+h_{2})=\frac{1}{3}\pi .\frac{24^{2}}{5^{2}}(\frac{32}{5}+\frac{18}{5}) \\=\frac{1}{3}\pi .\frac{24^{2}}{5^{2}}.10$
Nhận xét:
$V=\frac{1}{3}\pi .AH^{2}.BC=\frac{1}{3}\pi .AH.\frac{AB^{2}.AC^{2}}{AB^{2}+AC^{2}}.BC$