Mục lục bài viết

Công thức tính thể tích hình nón
Ví dụ cách tính thể tích hình nón

Thể tích hình nón là gì? Công thức tính thể tích hình nón, cách tính thể tích hình nón…

Công thức tính thể tích hình nón

$V=\frac{1}{3}.\pi .R^{2}.h$
$(=\frac{1}{3}.S_{day}.h)$

R: bán kính hình tròn đáy
h: chiều cao ( khoảng cách từ đỉnh tới đáy)

Ví dụ cách tính thể tích hình nón

Ví dụ 1: Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 5cm, bán kính hình tròn đáy là 3cm. Tính thể tích khối nón.
$\left\{\begin{matrix} l=5cm\\R=3cm \end{matrix}\right.$

Lời giải:

Gọi O là đỉnh khối nón
H là tâm hình tròn
A là điểm thuộc đường tròn đáy
OA=5cm, HA=3cm
Trong tam giác vuông OHA,
$OH=\sqrt{OA^{2}-HA^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$
$V=\frac{1}{3}\pi .R^{2}.h=\frac{1}{3}\pi .3^{2}.4=12\pi (cm^{3})$
Ví dụ 2: Cho khối nón có góc ở đỉnh bằng $60^{\circ}$ độ dài đường sinh bằng 6cm. Tính thể tích khối nón.

Lời giải:

Gọi O là đỉnh khối nón. Kẻ đường kính AB của hình tròn đáy tâm H.

Theo bài ra,
$\widehat{AOH}=30^{\circ}$ , OA = OB = 6(cm)
Suy ra, $\Delta OAB$ đều nên AB=6cm
$\Rightarrow R=HA=3(cm)$
Trong tam giác vuông OHA, $\widehat{AOH}=30^{\circ}$
$OH=OA.\cos30^{\circ}=6.\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}(cm)$
$V=\frac{1}{3}.\pi .3^{2}.3\sqrt{3}=9\pi \sqrt{3}(cm^{3})$
Chú ý: $OH=\sqrt{OA^{2}-HA^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3\sqrt{3}$ hoặc $OH=HA.\cot30^{\circ}=3\sqrt{3}$

Ví dụ 3: Cho $\Delta ABC$ vuông tại A, AB=8(cm), BC=10(cm). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho đường gấp khúc
a) ACB quay quanh AB.
b) ABC quay quanh AC.
a) BAC quay quanh BC.

Lời giải:

Trong tam giác vuông ABC,
$AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6(cm)$
a) Khi đường gấp khúc ACB quay quanh AB ta được hình nón có chiều cao h=AB=8(cm), bán kính R=AC=6(cm).
$V=\frac{1}{3}.\pi .R^{2}.h=\frac{1}{3}.\pi .6^{2}.8=96\pi (cm^{3})$
b) Khi đường gấp khúc ABC quay quanh AC ta được hình nón có chiều cao h=AC=6(cm), bán kính R=AB=8(cm).
$V=\frac{1}{3}.\pi .R^{2}.h=\frac{1}{3}.\pi .8^{2}.6=128\pi (cm^{3})$
c) Khi đường gấp khúc BAC quay quanh BC ta được 2 hình nón.
+ Hình nón thứ nhất tạo thành khi cho đường gấp khúc BAH quay quanh BH
R1=AH, h1=BH.
Trong tam giác vuông ABC:
$\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}=\frac{1}{8^{2}}+\frac{1}{6^{2}}=\frac{10^{2}}{8^{2}.6^{2}}$

$\Rightarrow R_{1}=AH=\frac{8.6}{10}=\frac{24}{5}$
$h_{1}=BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{8^{2}-\frac{8^{2}.6^{2}}{10^{2}}}\\=8\sqrt{\frac{10^{2}-6^{2}}{10^{2}}}=\frac{8^{2}}{10}=\frac{32}{5}$ $V_{1}=\frac{1}{3}.\pi .R_{1}^{2}.h_{1}=\frac{1}{3}.\pi .\frac{48^{2}}{10^{2}}.\frac{32}{5}=\frac{6144}{125}(cm^{3})$
+ Hình nón thứ hai tọa thành khi cho đường gấp khúc HAC quay quanh HC.
$\Rightarrow R_{1}=AH=\frac{24}{5}$
$h_{2}=HC=BC-HB=10-\frac{32}{5}=\frac{18}{5}$
$V_{2}=\frac{1}{3}.\pi .R_{2}^{2}.h_{2}=\frac{1}{3}.\pi .\frac{24^{2}}{5^{2}}.\frac{18}{5}=\frac{3456}{125}(cm^{3})$
$V=V_{1}+V_{2}=\frac{384}{5}(cm^{3})$
Cách 2: $V=V_{1}+V_{2}=\frac{1}{3}\pi R_{1}^{2}.h_{1}+\frac{1}{3}\pi R_{2}^{2}.h_{2}$
$=\frac{1}{3}\pi R_{1}^{2}.(h_{1}+h_{2})=\frac{1}{3}\pi .\frac{24^{2}}{5^{2}}(\frac{32}{5}+\frac{18}{5}) \\=\frac{1}{3}\pi .\frac{24^{2}}{5^{2}}.10$
Nhận xét:
$V=\frac{1}{3}\pi .AH^{2}.BC=\frac{1}{3}\pi .AH.\frac{AB^{2}.AC^{2}}{AB^{2}+AC^{2}}.BC$