Tích vô hướng của 2 vectơ: Góc giữa hai vectơ, Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ, Tính chất của tích vô hướng, Biểu thức tọa độ của tích vô hướng…

Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ được mô tả như hình sau:

Số đo góc trên được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ .

Nếu số đo ấy bằng 90 độ, ta nói $\vec a$ vuông góc với $\vec b$ .

Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ là một số (đại lượng đại số), được kí hiệu là $\vec a.\vec b$ và được xác định bởi công thức

$\vec a.\vec b=|\vec a|.|\vec b|.cos\left ( \vec a,\vec b \right )$

Bình phương vô hướng:

Với mỗi vectơ $\vec a$ tùy ý, tích vô hướng $\vec a.\vec a$ được kí hiệu là $|\vec a|^2$ được gọi là bình phương vô hướng

Như vậy: Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó

Tính chất của tích vô hướng

a) Định lí
Với ba vectơ $\vec a,\vec b,\vec c$ tùy ý và một số thực k, ta có:

$\vec a.\vec b=\vec b.\vec a$ (tính chất giao hoán)

$\vec a.\vec b=0\Leftrightarrow \vec a\perp \vec b$

$(k\vec a).\vec b=\vec a.(k\vec b)=k.(\vec a.\vec b)$

$\vec a. (\vec b\pm \vec c)=\vec a.\vec b\pm \vec a.\vec c$ (tính chất phân phối tổng hiệu)

b) Phương tích của một điểm đối với một đường tròn

Ta dễ dàng chứng minh được $MT^2=MA.MB$ thông qua việc chứng minh tam giác đồng dạng

Mặc khác theo định lý Pytago vào tam giác OMT vuông tại T (vì MT là tiếp tuyến)

Ta có: $MT^2=OM^2-OT^2$

Theo ý trên: $MA.MB=\vec{MA}.\vec{MB}$ (vì M, A, B thẳng hàng)

Vậy: $\vec{MA}.\vec{MB}=OM^2-OT^2$

Đây chính là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O).

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho hai vectơ $\vec{a}(x;y);\vec{b}(x';y')$ . Khi đó:

$\vec{a}.\vec{b}=xx'+yy'$
$|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$
$cos(\vec{a};\vec{b})=\frac{xx'+yy'}{\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{x'^2+y'^2}},\vec{a}\neq \vec{0};\vec{b}\neq \vec{0}$
$\vec{a}\perp \vec{b}\Leftrightarrow xx'+yy'=0$

Ví dụ cho tích vô hướng của 2 vectơ

Ví dụ 1:
Tính tích vô hướng của $\vec{a}(2;3)$ và $\vec{b}(1;1)$ biết chúng tạo với nhau một góc $30^o$

Lời giải:
Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ, ta có: $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}|.|\vec{b}|.cos30$

$=\sqrt{2^2+3^2}.\sqrt{1^2+1^2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{78}}{2}$

Ví dụ 2:
Cho hình vuông ABCD cạnh a đường chéo BD. Tính các tích vô hướng sau: $\vec{AD}.\vec{AB}$ , $\vec{AD}.\vec{BD}$ và $\vec{AB}.\vec{CD}$

Lời giải:

Vì $AD\perp AB$ nên $\vec{AD}.\vec{AB}=0$

$\vec{AD}.\vec{BD}=|\vec{AD}|.|\vec{BD}|cosADB\\=a.a\sqrt{2}.cos45=a^2$

$\vec{AB}.\vec{CD}=|\vec{AB}|.|\vec{CD}|.cos0^o=a^2$

Ví dụ 3:
Tính giá trị của biểu thức $A=\frac{11tan\alpha-5cot\alpha}{34tan\alpha+2cot\alpha}$ biết $sin\alpha=\frac{1}{4}$

Lời giải:
Ta có: $A=\frac{11tan\alpha-5cot\alpha}{34tan\alpha+2cot\alpha}$ $=\frac{11\frac{sin\alpha}{cos\alpha}-5\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}{34\frac{sin\alpha}{cos\alpha}+2\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}$ $=\frac{11sin^2\alpha-5cos^2\alpha}{34sin^2\alpha+2cos^2\alpha}$