Tích vô hướng của 2 vectơ (Định nghĩa – Tính chất – Biểu thức tọa độ và ví dụ)

Tích vô hướng của 2 vectơ: Góc giữa hai vectơ, Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ, Tính chất của tích vô hướng, Biểu thức tọa độ của tích vô hướng…
Tích vô hướng của 2 vectơ

Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ \vec a và \vec b được mô tả như hình sau:
Tích vô hướng của 2 vectơ

Số đo góc trên được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ \vec a và \vec b.

Nếu số đo ấy bằng 90 độ, ta nói \vec a vuông góc với \vec b.

Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ \vec a và \vec b là một số (đại lượng đại số), được kí hiệu là \vec a.\vec b và được xác định bởi công thức

\vec a.\vec b=|\vec a|.|\vec b|.cos\left ( \vec a,\vec b \right )

Bình phương vô hướng:

Với mỗi vectơ \vec a tùy ý, tích vô hướng \vec a.\vec a được kí hiệu là |\vec a|^2 được gọi là bình phương vô hướng

Ta có: \vec a^2=|\vec a|.|\vec a|.cos0^o=|\vec a|^2

Như vậy: Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó

Tính chất của tích vô hướng

a) Định lí
Với ba vectơ \vec a,\vec b,\vec c tùy ý và một số thực k, ta có:

\vec a.\vec b=\vec b.\vec a (tính chất giao hoán)

\vec a.\vec b=0\Leftrightarrow \vec a\perp \vec b

(k\vec a).\vec b=\vec a.(k\vec b)=k.(\vec a.\vec b)

\vec a. (\vec b\pm \vec c)=\vec a.\vec b\pm \vec a.\vec c (tính chất phân phối tổng hiệu)

b) Phương tích của một điểm đối với một đường tròn

Tích vô hướng của 2 vectơ

Ta dễ dàng chứng minh được MT^2=MA.MB thông qua việc chứng minh tam giác đồng dạng

Mặc khác theo định lý Pytago vào tam giác OMT vuông tại T (vì MT là tiếp tuyến)

Ta có: MT^2=OM^2-OT^2

Theo ý trên: MA.MB=\vec{MA}.\vec{MB} (vì M, A, B thẳng hàng)

Vậy: \vec{MA}.\vec{MB}=OM^2-OT^2

Đây chính là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O).

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho hai vectơ \vec{a}(x;y);\vec{b}(x';y'). Khi đó:

\vec{a}.\vec{b}=xx'+yy'
|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}
cos(\vec{a};\vec{b})=\frac{xx'+yy'}{\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{x'^2+y'^2}},\vec{a}\neq \vec{0};\vec{b}\neq \vec{0}
\vec{a}\perp \vec{b}\Leftrightarrow xx'+yy'=0

Ví dụ cho tích vô hướng của 2 vectơ

Ví dụ 1:
Tính tích vô hướng của \vec{a}(2;3) và \vec{b}(1;1) biết chúng tạo với nhau một góc 30^o

Lời giải:
Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ, ta có: \vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}|.|\vec{b}|.cos30

=\sqrt{2^2+3^2}.\sqrt{1^2+1^2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{78}}{2}

Ví dụ 2:
Cho hình vuông ABCD cạnh a đường chéo BD. Tính các tích vô hướng sau: \vec{AD}.\vec{AB}\vec{AD}.\vec{BD} và \vec{AB}.\vec{CD}

Lời giải:

Tích vô hướng của 2 vectơ

Vì AD\perp AB nên \vec{AD}.\vec{AB}=0

\vec{AD}.\vec{BD}=|\vec{AD}|.|\vec{BD}|cosADB\\=a.a\sqrt{2}.cos45=a^2

\vec{AB}.\vec{CD}=|\vec{AB}|.|\vec{CD}|.cos0^o=a^2

Ví dụ 3:
Tính giá trị của biểu thức A=\frac{11tan\alpha-5cot\alpha}{34tan\alpha+2cot\alpha} biết sin\alpha=\frac{1}{4}

Lời giải:
Ta có: A=\frac{11tan\alpha-5cot\alpha}{34tan\alpha+2cot\alpha}=\frac{11\frac{sin\alpha}{cos\alpha}-5\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}{34\frac{sin\alpha}{cos\alpha}+2\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}=\frac{11sin^2\alpha-5cos^2\alpha}{34sin^2\alpha+2cos^2\alpha}

=\frac{16sin^2\alpha-5}{36sin^2\alpha+2}

=\frac{16.(0,25)^2-5}{32.(0,25)^2+2}=-1

Ví dụ 4:
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

B=2(sin^6x+cos^6x)-3(sin^4x+cos^4x)

Lời giải:
Ta có:

B=2(sin^6x+cos^6x)-3(sin^4x+cos^4x)

=2(sin^2x+cos^2x)(sin^4x-sin^2xcos^2x+cos^4x)\\-3(sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x-2sin^2xcos^2x)

=2(sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x-3sin^2xcos^2x)\\-3(1-2sin^2xcos^2x)

=2(1-3sin^2xcos^2x)-3(1-2sin^2xcos^2x)

=-1

Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của góc x
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!

5/5 - (1 bình chọn)
Mình là Nguyễn Mỹ Lệ - là tác giả các bài viết trong chuyên mục sổ tay Toán học - Vật lý - Hóa học. Mong rằng các bài viết của mình được các bạn đón nhận nồng nhiệt.

Related Posts

Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne)

Lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức

Bài viết lược đồ Hoocne (Sơ đồ Hoocne) trong cách chia đa thức bao gồm: Cách chia đa thức cho đa thức bằng lược đồ Hoocne, bài…

Chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip

Chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip

Chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip và công thức tính chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip. Vẽ qua A1&A2 hai đường…

Ước số là gì - Bội số là gì?

Ước số là gì – Bội số là gì?

Ước số là gì- Bội số là gì? Bài tập về ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất đưa ra một số phương pháp giải…

Công thức tính thể tích hình trụ

Công thức tính thể tích hình trụ – Ví dụ cách tính thể tích hình trụ

Thể tích hình trụ là gì? Công thức tính thể tích hình trụ, cách tính thể tích hình trụ… Công thức tính thể tích hình trụ Thể…

Thể tích hình chóp cụt

Thể tích hình chóp cụt – Công thức và ví dụ

Thể tích hình chóp cụt là gì? Công thức tính thể tích hình chóp cụt, cách tính thể tích hình chóp cụt… Công thức tính thể tích…

Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Những hằng đẳng thức đáng nhớ, hằng đẳng thức mở rộng và dạng toán áp dụng

Bài viết những hằng đẳng thức đáng nhớ bao gồm: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, các hằng đẳng thức mở rộng, các hằng đẳng thức tổng…