Công thức lượng giác trong tam giác

180

Công thức lượng giác trong tam giác hay hệ thức lượng trong tam giác bao gồm: công thức lượng giác trong tam giác vuông, công thức lượng giác trong tam giác thường…

Định lí côsin trong tam giác

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

Công thức lượng giác trong tam giác

Ta đã biết rằng: \(BC^2=AB^2+AC^2\)

hay \(\vec {BC}^2=\vec {AB}^2+\vec {AC}^2\)

Chứng minh ngắn gọn theo tích vô hướng của hai vectơ ở bài học trước ta có được điều trên.

Như vậy, ta có phát biểu về định lí côsin trong tam giác:
Trong tam giác ABC, gọi \(Ab=c;AC=b;BC=a\), ta có:

\(a^2=b^2+c^2-2bc.cosA\)

\(b^2=a^2+c^2-2ac.cosB\)

\(c^2=a^2+b^2-2ab.cosC\)

Từ đó, ta có hệ quả sau:
\(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)

\(cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)

\(cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)

Định lí sin trong tam giác

Cho hình vẽ:

Công thức lượng giác trong tam giác

Ta dễ dàng nhận thấy rằng:

\(a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC\)

Chứng minh tương tự với tam giác thường, hệ thức trên vẫn đúng!

Ta rút ra được định lí sau:
Với mọi tam giác ABC, ta có:

\(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R\)

Công thức độ dài đường trung tuyến của tam giác

Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM.

Công thức lượng giác trong tam giác

Gọi \(m_a;m_b;m_c\) lần lượt là các đường trung tuyến ứng với các cạnh a, b, c. Khi đó:

\(m_{a}^{2}=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}\)

\(m_{b}^{2}=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\)

\(m_{c}^{2}=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}\)

Diện tích tam giác

Ngoài kiến thức tính diện tích đã học ở cấp dưới là bằng nửa tích cạnh đáy nhân với chiều cao tương ứng, ta còn được biết thêm với các công thức sau:

Với tam giác ABC, kí hiệu \(h_a;h_b;h_c\) lần lượt là các đường cao ứng với các cạnh a, b, c. R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC, \(p=\frac{1}{2}(a+b+c)\) là nửa chu vi của tam giác, ta có các công thức tính diện tích S của tam giác ABC như sau:

\(S=\frac{1}{2}a.h_a=\frac{1}{2}b.h_b=\frac{1}{2}c.h_c\)

\(S=\frac{1}{2}ab.sinC=\frac{1}{2}ac.sinB=\frac{1}{2}bc.sinA\)

\(S=\frac{abc}{4R}\)

\(S=pr\)

\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)

Ví dụ áp dụng công thức lượng giác trong tam giác

Bài 1: Cho tam giác ABC có \(\widehat{A}=60^o, \widehat{B}=80^o,a=6\). Tính hai cạnh a và c.

Hướng dẫn:

Công thức lượng giác trong tam giác

Dễ dàng tìm được \(\widehat{C}=180^o-60^o-80^o=40^o\)

Ta sẽ tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R:

\(\frac{a}{sinA}=2R=\frac{6}{sin60^o}=4\sqrt{3}\)

Vậy: \(\frac{b}{sinB}=4\sqrt{3}\Rightarrow b=sinB.4\sqrt{3}=6,823\)

\(\frac{c}{sinC}=4\sqrt{3}\Rightarrow c=sinC.4\sqrt{3}=4,45\)

Bài 2: Tam giác ABC có \(a=10,b=11,c=14\). Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính độ dài AM.

Hướng dẫn:

Công thức lượng giác trong tam giác

Ta có: \(AM^2=\frac{AB^2+AC^2}{2}-\frac{BC^2}{4}=\frac{11^2+14^2}{2}-\frac{10^2}{4}=11,55\)

Bài 3: Cho tam giác ABC có 3 cạnh a, b, c lần lượt là 5, 7 ,10. Cạnh của hình vuông có diện tích bằng diện tích tam giác ABC là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Công thức lượng giác trong tam giác

Áp dụng công thức Hê rông tính diện tích, ta có:

\(p=\frac{a+b+c}{2}=11\)

\(S=\sqrt{11(11-5)(11-10)(11-7)}=16,24(dvdt)\)

Vậy cạnh của hình vuông có cùng diện tích trên là:

\(a=\sqrt{S}=4,03\)

Bài 4: Cho hình vẽ sau, biết \(AD=5, BD=15\) và các góc cho trước. Tính độ dài BC.

Công thức lượng giác trong tam giác
Hướng dẫn:

Xét tam giác ADB vuông tại D, ta có: \(AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=5\sqrt{10}\)

Ta có: \(tanABD=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}\Rightarrow \widehat{ABD}=18,43^o\)

\(\Rightarrow \widehat{ABC}=90^o-\widehat{ABD}=71,57^o\)

\(\Rightarrow \widehat{ACB}=180^o-\widehat{ABC}-\widehat{BAC}=63,43^o\)

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có:

\(R=\frac{AB}{2sinACB}=8,84\)

Mặc khác, \(R=\frac{BC}{2sinBAC}=8,84\Rightarrow BC=2R.sinBAC=12,5\)

Xem đầy đủ công thức lượng giác cơ bản: Công thức lượng giác cơ bản

Công thức lượng giác trong tam giác
5 (100%) 1 vote

BÌNH LUẬN

Please enter your comment!
Please enter your name here