Định lý Viet

234

Bài viết định lý viet bao gồm: định lý viet đảo, định lý viet thuận, bài tập định lý viet, định lý viet bậc 3, chuyên đề phương trình bậc hai và định lý viet, định lý viet và ứng dụng…
Định lý Viet

Định lý Viet

Định lý Viet thuận

Nếu phương trình bậc hai có dạng:
\[a{x^2} + bx + c = 0,(a \ne 0)\]
có 2 nghiệm phân biệt thì:
\[\begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{ – b}}{a}\\
{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}
\end{array}\]

Định lý Viet đảo

Nếu ta có hai số u, v có u + v = S và u.v = P thì u và v là nghiệm của phương trình :
\[{X^2} – SX + P = 0\]

Ví dụ bài tập định lý viet

Bài 1: Tìm tổng và tích của các nghiệm phương trình sau: \(x^2-8x+11=0\)

Hướng dẫn: Đầu tiên ta tính \(\Delta’ =(-4)^2-1.11=5>0\)

Ta có: \(S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-\frac{-8}{1}=8\)

\(P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{11}{1}=11\)

Bài 2: Tìm tổng và tích của các nghiệm phương trình sau:\(2x^2-8x-29=0\)

Hướng dẫn:

Với bài toán này, ta nhận thấy hệ số a và c trái dấu, như đã học ở bài trước, pt này chắc chắn có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy: \(S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-\frac{-8}{2}=4\)

\(P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{29}{2}\)

Bài 3:Tìm tổng và tích của các nghiệm phương trình sau: \(x^2+10x+25\)

Hướng dẫn: Đầu tiên ta tính \(\Delta’ =(-5)^2-1.25=0\)

Vậy \(S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-\frac{10}{1}=-10\)

\(P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{25}{1}=25\)

Bài 4: Tìm hai số biết tổng của chúng là 5 và tích của chúng là 6

Hướng dẫn: Gọi hai số đó là \(x_1\) và \(x_2\)\(\Rightarrow x_1+x_2=5; x_1.x_2=6\)

Lại có \(S^2=25>4P=24\)

Vậy 2 số cần tìm là nghiệm của phương trình \(x^2-Sx+P=0\) hay \(x^2-5x+6=0\)

\(\Rightarrow x_1=3, x_2=2\) hoặc \(\Rightarrow x_1=2, x_2=3\)

Bài 5: Tìm hai số biết hiệu của chúng là 11 và tích của chúng là 60

Hướng dẫn: Gọi hai số cần tim là a, b

Ta có \(\left\{\begin{matrix} a-b=11\\ ab=60 \end{matrix}\right.\)

Thế \(a=11+b\) vào phương trình tích, ta được \(b(b+11)=60\Leftrightarrow b^2+11b-60=0\)

\(\Rightarrow b=-15\) hoặc \(b=4\)

\(b=-15\Rightarrow a=-4\)

\(b=4\Rightarrow a=15\)

Bài 6: Định $m$ để phương trình $x^2 – 2mx +4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thoả mãn đẳng thức $x_1^2 + x_2^2 = {x_1}{x_2} +24.$
Hướng dẫn:
Ta có $\Delta ‘ = {{b’}^2} – ac = {\left( { – m} \right)^2} – 4 = {m^2} – 4.$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta ‘ > 0 \Leftrightarrow {m^2} – 4 > 0 \Leftrightarrow m < – 2 \vee m > 2.$ Khi đó, theo định lý Vi-et ta có $${x_1} + {x_2} = – \frac{b}{a} = 2m;{\text{ }}{x_1}{x_2} = 4.$$ Đẳng thức đã cho tương đương $${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 3{x_1}{x_2} – 24 = 0 \Leftrightarrow 4{m^2} – 36 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 3{\rm{ }}\left( n \right)\\ m = – 3{\rm{ }}\left( n \right) \end{array} \right..$$

Định lý viet bậc 3

Cho phương trình:
\[a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0(a \ne 0)\]

Định lý Viet thuận

Nếu phương trình có 3 nghiệm x1, x2, x3 thì ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} + {x_3} = \frac{{ – b}}{a}\\
{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = \frac{c}{a}\\
{x_1}{x_2}{x_3} = \frac{{ – d}}{a}
\end{array} \right.\]

Định lý Viet đảo

Nếu 3 số x, y, z thỏa mãn:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = a\\
xy + yz + xz = b\\
xyz = c
\end{array} \right.\]

Thì x, y,z là 3 nghiệm của phương trình:

\[{t^3} – a{t^2} + bt – c = 0\]

Các dạng toán ứng dụng định lý Viet

Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phương trình sao cho chúng không phụ huộc vào tham số

Phương pháp:
Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
– Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$ (thường là $a \ne 0$ và $\Delta \ge 0$)
– Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết $S = x_1+x_2$ và $P = x_1x_2$ theo tham số
– Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo $x_1$ và $x_2$. Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm $x_1$ và $x_2$.

Bài 1:
Cho phương trình: $(m-1)x^2-2mx+m-4=0$ có 2 nghiệm $x_1,x_2$. Lập hệ thức liên hệ giữa $x_1,x_2$ sao cho chúng không phụ thuộc vào $m$.
Giải:
Để phương trình trên có 2 nghiệm $x_1$ và $x_2$ thì :
$\left\{ \begin{array}
m – 1 \ne 0 \\
\vartriangle ‘ \geqslant 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m \ne 1 \\
{m^2} – (m – 1)(m – 4) \geqslant 0 \\
\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m \ne 1 \\
5m – 4 \geqslant 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m \ne 1 \\
m \geqslant \frac{4}{5} \\
\end{array} \right.$
Theo hệ thức VI-ÉT ta có :
$\left\{ \begin{array}
{x_1} + {x_2} = \frac{{2m}}{{m – 1}} \\
{x_1}.{x_2} = \frac{{m – 4}}{{m – 1}} \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
{x_1} + {x_2} = 2 + \frac{2}{{m – 1}}(1) \\
{x_1}.{x_2} = 1 – \frac{3}{{m – 1}}(2) \\
\end{array} \right.$
Rút $m$ từ (1) ta có :
$\frac{2}{{m – 1}} = {x_1} + {x_2} – 2 \Leftrightarrow m – 1 = \frac{2}{{{x_1} + {x_2} – 2}}$ (3)
Rút $m$ từ (2) ta có :
$\frac{3}{{m – 1}} = 1 – {x_1}{x_2} \Leftrightarrow m – 1 = \frac{3}{{1 – {x_1}{x_2}}}$ (4)
Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:
$\frac{2}{{{x_1} + {x_2} – 2}} = \frac{3}{{1 – {x_1}{x_2}}}\\ \Leftrightarrow 2\left( {1 – {x_1}{x_2}} \right) = 3\left( {{x_1} + {x_2} – 2} \right) \Leftrightarrow 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2{x_1}{x_2} – 8 = 0$

Bài 2:
Gọi $x_1$,$x_2$ là nghiệm của phương trình : $(m-1)x^2-2mx+m-4=0$ .
Chứng minh rằng biểu thức $A=3(x_1+x_2)+2x_1x_2-8$ không phụ thuộc giá trị của $m$.
Giải:
Để phương trình trên có 2 nghiệm $x_1$ và $x_2$ thì :
$\left\{ \begin{array}
m – 1 \ne 0 \\
\vartriangle ‘ \geqslant 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m \ne 1 \\
{m^2} – (m – 1)(m – 4) \geqslant 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m \ne 1 \\
5m – 4 \geqslant 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m \ne 1 \\
m \geqslant \frac{4}{5} \\
\end{array} \right.$
Theo hệ thức VI-ÉT ta có :
$\left\{ \begin{array}
{x_1} + {x_2} = \frac{{2m}}{{m – 1}} \\
{x_1}.{x_2} = \frac{{m – 4}}{{m – 1}} \\
\end{array} \right.$ thay vào $A$ ta có:
$A = 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2{x_1}{x_2} – 8 = 3.\frac{{2m}}{{m – 1}} + 2.\frac{{m – 4}}{{m – 1}} – 8 \\ = \frac{{6m + 2m – 8 – 8(m – 1)}}{{m – 1}} = \frac{0}{{m – 1}} = 0$
Vậy $A = 0$ với mọi $m \ne 1$ và $m \geqslant \frac{4}{5}$. Do đó biểu thức $A$ không phụ thuộc vào $m$
Nhận xét:
– Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm
– Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số.

Bài 3:
Cho phương trình : $x^2-(m+2)x+(2m-1)$ có 2 nghiệm $x_1$ và $x_2$. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa $x_1,x_2$ sao cho $x_1,x_2$ độc lập đối với $m$.
Hướng dẫn:
Dễ thấy $\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} – 4\left( {2m – 1} \right) = {m^2} – 4m + 8 = {\left( {m – 2} \right)^2} + 4 > 0$
do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$
Theo hệ thức VI-ÉT ta có:
$\left\{ \begin{array}
{x_1} + {x_2} = m + 2 \\
{x_1}.{x_2} = 2m – 1 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m = {x_1} + {x_2} – 2(1) \\
m = \frac{{{x_1}{x_2} + 1}}{2}(2) \\
\end{array} \right.$
Từ (1) và (2) ta có:
${x_1} + {x_2} – 2 = \frac{{{x_1}{x_2} + 1}}{2} \Leftrightarrow 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) – {x_1}{x_2} – 5 = 0$

Bài 4:
Cho phương trình : $x^2+(4m+1)x+2(m-4)$ .
Tìm hệ thức liên hệ giữa $x_1$ và $x_2$ sao cho chúng không phụ thuộc vào $m$.
Hướng dẫn:
Dễ thấy $\Delta = {(4m + 1)^2} – 4.2(m – 4) = 16{m^2} + 33 > 0$ do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$
Theo hệ thức VI-ÉT ta có
$\left\{ \begin{array}
{x_1} + {x_2} = – (4m + 1) \\
{x_1}.{x_2} = 2(m – 4) \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
4m = – ({x_1} + {x_2}) – 1(1) \\
4m = 2{x_1}{x_2} + 16(2) \\
\end{array} \right.$
Từ (1) và (2) ta có:
$ – ({x_1} + {x_2}) – 1 = 2{x_1}{x_2} + 16 \Leftrightarrow 2{x_1}{x_2} + ({x_1} + {x_2}) + 17 = 0$

Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho

Phương pháp:
Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:
– Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$ (thường là $a \ne 0$ và $\Delta \ge 0$)
– Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số).
– Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.

Bài 1:
Cho phương trình : $mx^2-6(m-1)x+9(m-3)=0$
Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm $x_1$ và $x_2$ thoả mãn hệ thức : $x_1+x_2=x_1x_2$
Giải:
Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm $x_1$ và $x_2$ là :
$\left\{ \begin{array}
m \ne 0 \\
\Delta ‘ = {\left[ {3\left( {m – 21} \right)} \right]^2} – 9(m – 3)m \geqslant 0 \\
\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m \ne 0 \\
\Delta ‘ = 9\left( {{m^2} – 2m + 1} \right) – 9{m^2} + 27 \geqslant 0 \\
\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m \ne 0 \\
\Delta ‘ = 9\left( {m – 1} \right) \geqslant 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}
m \ne 0 \\
m \geqslant – 1 \\
\end{array} \right.$
Theo hệ thức VI-ÉT ta có: $\left\{ \begin{array}
{x_1} + {x_2} = \frac{{6(m – 1)}}{m} \\
{x_1}{x_2} = \frac{{9(m – 3)}}{m} \\
\end{array} \right.$
Và từ giả thiết: ${x_1} + {x_2} = {x_1}{x_2}$. Suy ra:
$\frac{{6(m – 1)}}{m} = \frac{{9(m – 3)}}{m} \Leftrightarrow 6(m – 1) = 9(m – 3) \\ \Leftrightarrow 6m – 6 = 9m – 27 \Leftrightarrow 3m = 21 \Leftrightarrow m = 7$
(thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với $m = 7$ thì phương trình đã cho có 2 nghiệm $x_1$ và $x_2$ thoả mãn hệ thức : $x_1+x_2=x_1x_2$

Bài 2:
Cho phương trình : $x^2-(2m+1)x+m^2+2=0$
Tìm $m$ để 2 nghiệm $x_1$ và $x_2$ thoả mãn hệ thức : $3x_1x_2-5(x_1+x_2)+7=0$
Giải:
Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm ${x_1}\& {x_2}$ là :
$\Delta ‘ = {(2m + 1)^2} – 4({m^2} + 2) \geqslant 0$
$ \Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 1 – 4{m^2} – 8 \geqslant 0$
$ \Leftrightarrow 4m – 7 \geqslant 0 \Leftrightarrow m \geqslant \frac{7}{4}$
Theo hệ thức VI-ÉT ta có: $\left\{ \begin{array}
{x_1} + {x_2} = 2m + 1 \\
{x_1}{x_2} = {m^2} + 2 \\
\end{array} \right.$
và từ giả thiết . Suy ra
$\begin{array}
3({m^2} + 2) – 5(2m + 1) + 7 = 0 \\
\Leftrightarrow 3{m^2} + 6 – 10m – 5 + 7 = 0 \\
\Leftrightarrow 3{m^2} – 10m + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}
m = 2(TM) \\
m = \frac{4}{3}(KTM) \\
\end{array} \right. \\
\end{array} $
Vậy với $m = 2$ thì phương trình có 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức :

Bài 3:
Cho phương trình : $mx^2+2(m-4)x+m+7$
Tìm $m$ để 2 nghiệm $x_1$ và $x_2$ thoả mãn hệ thức : $x_1-2x_2=0$
Hướng dẫn:
– ĐKX Đ: $m \ne 0\& m \leqslant \frac{{16}}{{15}}$
-Theo VI-ÉT: $\left\{ \begin{array}
{x_1} + {x_2} = \frac{{ – (m – 4)}}{m} \\
{x_1}{x_2} = \frac{{m + 7}}{m} \\
\end{array} \right.(1)$
– Từ Suy ra: $\left\{ \begin{array}
{x_1} + {x_2} = 3{x_2} \\
2({x_1} + {x_2}) = 3{x_1} \\
\end{array} \right. \Rightarrow 2{({x_1} + {x_2})^2} = 9{x_1}{x_2}$ (2)
– Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau:
${m^2} + 127m – 128 = 0 \Rightarrow {m_1} = 1;{m_2} = – 128$

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Phương pháp:
Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được:
$C = \left[ \begin{array}
A + m \\
k – B \\
\end{array} \right.$ (trong đó $A, B$ là các biểu thức không âm ; $m, k$ là hằng số) (*)
Thì ta thấy : $C \geqslant m$ (v ì $A \geqslant 0$) $ \Rightarrow \min C = m \Leftrightarrow A = 0$
$C \leqslant k$ (v ì$B \geqslant 0$) $ \Rightarrow \max C = k \Leftrightarrow B = 0$

Bài 1:
Cho phương trình : $x^2+(2m-1)x-m=0$
Gọi $x_1$ và $x_2$ là các nghiệm của phương trình. Tìm $m$ để: $A=x_1^2+x_2^2-6x_1x_2$ có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Theo VI-ÉT: $\left\{ \begin{array}
{x_1} + {x_2} = – (2m – 1) \\
{x_1}{x_2} = – m \\
\end{array} \right.$
Theo đề bài : $\begin{array}
A = x_1^2 + x_2^2 – 6{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 8{x_1}{x_2} \\
\\
\end{array} $
$\begin{array}
= {\left( {2m – 1} \right)^2} + 8m \\
= 4{m^2} – 12m + 1 \\
= {(2m – 3)^2} – 8 \geqslant – 8 \\
\end{array} $
Suy ra: $\min A = – 8 \Leftrightarrow 2m – 3 = 0$ hay $m = \frac{3}{2}$

Bài 2:
Cho phương trình : $x^2-mx+m-1=0$
Gọi $x_1$ và $x_2$ là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
$B=\dfrac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2(x_1x_2+1)} $
Giải:
Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì :
$\left\{ \begin{array}
{x_1} + {x_2} = m \\
{x_1}{x_2} = m – 1 \\
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow B = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{x_1^2 + x_2^2 + 2\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)}} = \frac{{2{x_1}{x_2} + 3}}{{{{({x_1} + {x_2})}^2} + 2}} = \frac{{2(m – 1) + 3}}{{{m^2} + 2}} = \frac{{2m + 1}}{{{m^2} + 2}}$
Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn
Ta biến đổi B như sau:
$B = \frac{{{m^2} + 2 – \left( {{m^2} – 2m + 1} \right)}}{{{m^2} + 2}} = 1 – \frac{{{{\left( {m – 1} \right)}^2}}}{{{m^2} + 2}}$
Vì ${\left( {m – 1} \right)^2} \geqslant 0 \Rightarrow \frac{{{{\left( {m – 1} \right)}^2}}}{{{m^2} + 2}} \geqslant 0 \Rightarrow B \leqslant 1$
Vậy $\max {\text{B = 1}} \Leftrightarrow $ m = 1
Với cách thêm bớt khác ta lại có:
$B = \frac{{\frac{1}{2}{m^2} + 2m + 1 – \frac{1}{2}{m^2}}}{{{m^2} + 2}} = \frac{{\frac{1}{2}\left( {{m^2} + 4m + 4} \right) – \frac{1}{2}\left( {{m^2} + 2} \right)}}{{{m^2} + 2}} = \frac{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}{{2\left( {{m^2} + 2} \right)}} – \frac{1}{2}$
Vì ${\left( {m + 2} \right)^2} \geqslant 0 \Rightarrow \frac{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}{{2\left( {{m^2} + 2} \right)}} \geqslant 0 \Rightarrow B \geqslant – \frac{1}{2}$
Vậy $\min B = – \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = – 2$

Định lý Viet
5 (100%) 1 vote

BÌNH LUẬN

Please enter your comment!
Please enter your name here