Góc giữa 2 vecto trong không gian

Góc giữa 2 vecto là gì? Cách xác định góc giữa 2 vecto, công thức tính góc giữa 2 vecto trong không gian OXYZ và các ví dụ về tính góc giữa 2 vectơ…

Định nghĩa góc giữa hai vecto

Cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) được mô tả như hình sau:
Tích vô hướng của 2 vectơ
Số đo góc trên được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\).
Nếu số đo ấy bằng 90 độ, ta nói \(\vec a\) vuông góc với \(\vec b\).

Công thức tính góc giữa 2 vecto

Tính góc giữa 2 vecto

Tìm góc dựa vào giá trị cosin của nó. Bạn có thể dùng chức năng arccos hoặc cos-1 trong máy tính bỏ túi để tìm góc từ giá trị \(cos(\vec{a};\vec{b})\) đã biết. Với một số kết quả thu được, có thể bạn sẽ tìm được góc dựa trên vòng tròn đơn vị. Tính góc giữa 2 vecto ta dựa vào công thức tích vô hướng của 2 vectơ:
Cho hai vectơ \(\vec{a}(x;y);\vec{b}(x’;y’)\). Khi đó:
\(\vec a.\vec b=|\vec a|.|\vec b|.cos\left ( \vec a,\vec b \right )\)
\(cos(\vec{a};\vec{b})=\frac{xx’+yy’}{\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{x’^2+y’^2}},\vec{a}\neq \vec{0};\vec{b}\neq \vec{0}\)

Công thức tính góc giữa 2 vecto trong oxyz

\(\begin{matrix} (P) \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ (Q) \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{matrix}\)

\(\vec{n}_P=(A_1;B_1;C_1)\) là 1 VTPT của (P)
\(\vec{n}_Q=(A_2;B_2;C_2)\) là 1 VTPT của (Q)

\(cos(P,Q)=\left | cos(\vec{n}_P;\vec{n}_Q) \right | =\frac{\left | \vec{n}_P.\vec{n}_Q \right |}{\left | \vec{n}_P \right |\left | \vec{n}_Q \right |}\)
\(=\frac{\left | A_1B_2+B_1B_2+C_1C_2 \right |}{\sqrt{A^2_1+B_1^2+C^2_1} .\sqrt{A^2_2+B_2^2+C^2_2}}\)

Chú ý:
\(0^0\leq (\widehat{P,Q})\leq 90^0\)
\((P)\perp (Q)\Leftrightarrow \vec{n}_P.\vec{n}_Q\)
\(\Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0\)

Bài tập ví dụ tính góc giữa hai vecto

Ví dụ 1: Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng
\(\begin{matrix} (P): 2x+y+2z-3=0\\ (Q):x+2y-2z+4=0 \end{matrix}\)

Giải:
(P) có 1 VTPT \(\vec{n}_P=(2;1;2)\Rightarrow \left | \vec{n}_P \right |=3\)
(Q) có 1 VTPT \(\vec{n}_Q=(1;2;-2)\Rightarrow \left | \vec{n}_Q \right |=3\)
\(cos(P,Q)=\left | cos(\vec{n}_P;\vec{n}_Q) \right | =\frac{\left | \vec{n}_P;\vec{n}_Q \right |}{\left | \vec{n}_P\right |.\left | \vec{n}_Q \right |}\\=\frac{2+2-4}{3.3}=0\)
Vậy cos(P;Q) = 0

Ví dụ 2: Cho \(\begin{matrix} (P): mx+y+2z+1=0\\ (Q): x-2y-2z+3=0 \end{matrix}\)
Tìm m để
\(\begin{matrix} a) \ \ \ \ (P)\perp (Q)\\ b) \ (\widehat{P;Q})=60^0 \end{matrix}\)

Giải:
(P) có 1 VTPT \(\vec{n}_P=(m;1;2)\Rightarrow \left |\vec{n}_P \right |=\sqrt{m^2+5}\)
(Q) có 1 VTPT \(\vec{n}_Q=(1;-2;-2)\Rightarrow \left |\vec{n}_Q \right |=3\)
a)
\((P)\perp (Q)\Leftrightarrow \vec{n}_P.\vec{n}_Q=0\)
\(\Leftrightarrow m-2-4=0\)
\(\Leftrightarrow m=6\)
b)
\((\widehat{P;Q})=60^0\Leftrightarrow cos(\widehat{P;Q})=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{\left | m-2-4 \right |}{\sqrt{m^2+5}.3}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow 2\left | m-6 \right |=3\sqrt{m^2+5}\)
\(\Leftrightarrow 4(m^2-12m+36)=9(m^2+5)\)
\(\Leftrightarrow 5m^2+48m-99=0\)
\(\Delta ‘=24^2+5.99=1071\)
\(\Bigg \lbrack\begin{matrix} m=\frac{-24-\sqrt{1071}}{5}\\ \\ m=\frac{-24+\sqrt{1071}}{5} \end{matrix}\)

Ví dụ 3: Viết phương trình \((\alpha )\) chứa OZ và tạo với (P) \(x+2y-\sqrt{5}z\) một góc 600

Giải
Gọi \(\vec{n}=(a;b;c) \ \ \ a^2+b^2+c^2\neq 0\)
là 1 VTPT của \((\alpha )\)
\(\Rightarrow \vec{n}\perp \vec{k}=(0;0;1)\)
\(\Rightarrow C=0\)
\((\widehat{(\alpha );(P)})=60^0\)
\(\Leftrightarrow cos(\widehat{(\alpha );(P)})=60^0=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{\left | a+2b-c\sqrt{5} \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{1^2+2^2+(\sqrt{5})^2 }}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{\left | a+2b \right |}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{10}}=\frac{1}{2}(do \ C=0)\)
\(\Leftrightarrow 2\left | a+2b \right |=\sqrt{10}.\sqrt{a^2+b^2}\)
\(\Leftrightarrow 4(a^2+4b^2+4ab)=10(a^2+b^2)\)
\(\Leftrightarrow 6a^2-16ab-6b^2=0\)
\(\Leftrightarrow 3a^2-8ab-3b^2=0(1)\)
+ Nếu b = 0 thì a = 0 (vô lý)
+ Nếu \(b\neq 0\) thì chia 2 vế (1) cho b2 ta có
\(3.\left ( \frac{a}{b} \right )^2-8.\frac{a}{b}-3=0\)
\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} \frac{a}{b}=\frac{4-5}{3}=-\frac{1}{3}\\ \\ \frac{a}{b}=\frac{4+5}{3}=3 \end{matrix}\)

Trường hợp 1:

\(\frac{a}{b}=-\frac{1}{3}\), ta chọn a = -1, b = 3
\(\vec{n}=(-1;3;0)\)
\((\alpha )\) đi qua O(0;0;0) có 1 VTPT \(\vec{n}=(-1;3;0)\) nên có pt -x + 3y = 0

Trường hợp 2:

\(\frac{a}{b}=3\) chọn \(a=3,b=1\)
\(\vec{n}=(3;1;0)\)
\((\alpha )\) đi qua O(0;0;0) có 1 VTPT \(\vec{n}=(3;1;0)\) nên có phương trình 3x + y = 0
Vậy -x + 3y = 0, 3x + y = 0

Mời các bạn xem thêm bài viết:
Tính chất của tích vô hướng

Bài viết này hữu ích như thế nào?

Xếp hạng / 5. Số phiếu:

Chia sẻ để mọi người cùng biết nhé! ❤
Viết một bình luận