Các quy tắc tính đạo hàm

173

Bài viết các quy tắc tính đạo hàm sẽ giới thiệu đến các em công thức tính đạo hàm của các hàm số thường gặp và hàm hợp của chúng, các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em hình thành và rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm.
Các quy tắc tính đạo hàm

Quy tắc tính đạo hàm

Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

Định lý 1: Hàm số \(y = {x^n}(n \in \mathbb{N},n > 1\)) có đạo hàm với mọi \(x \in\mathbb{R}\) và: \({\left( {{x^n}} \right)’} = n{x^{n – 1}}.\)

Nhận xét:

(c)’=0 (với c là hằng số).
(x)’=1.
Định lý 2: Hàm số \(y= \sqrt x\) có đạo hàm với mọi x dương và: \(\left( {\sqrt x } \right)’ = \frac{1}{{2\sqrt x }}.\)

Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Định lý 3: Giả sử \(u = u\left( x \right)\) và \(v = v\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

\({\left( {u + v} \right)’} = {u’} + {v’}\)
\({\left( {u – v} \right)’} = {u’} – {v’}\)
\({\left( {u.v} \right)’} = {u’}.v + u.{v’}\)
\(\left ( \frac{u}{v} \right )’=\frac{u’v-uv’}{v^2},(v(x) \ne 0)\)
Mở rộng:

\(({u_1} + {u_2} + … + {u_n})’ = {u_1}’ + {u_2}’ + … + {u_n}’.\)
Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì: \((ku)’=ku’.\)

Hệ quả 2: \({\left( {\frac{1}{v}} \right)’} = – \frac{{ – v’}}{{{v^2}}}\) , \((v(x)\ne 0)\)

\((u.v.{\rm{w}})’ = u’.v.{\rm{w}} + u.v’.{\rm{w}} + u.v.{\rm{w}}’\)

Đạo hàm với hàm hợp

Định lý: Cho hàm số \(y=f(u)\) với \(u=u(x)\) thì ta có: \(y’_u=y’_u.u’_x.\)

Hệ quả:

\(({u^n}) = n.{u^{n – 1}}.u’,n \in \mathbb{N}^*.\)
\(\left( {\sqrt u } \right)’ = \frac{{u’}}{{2\sqrt u }}.\)

Ví dụ cho các quy tắc tính đạo hàm

Ví dụ 1:
a) Cho hàm số f(x)=x6. Tính f'(x) và f'(1).

b) Tính đạo hàm của hàm số \(y=\sqrt x\) tại x=9.

Hướng dẫn giải:
a) Ta có: \(f'(x) = 6{x^5},\forall x \in \mathbb{R}\)

Vậy: \(f'(1) = 6.\)

b) Ta có: \(f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)

Tại x=9 ta có: \(f'(9) = \frac{1}{{2\sqrt 9 }} = \frac{1}{6}.\)

Ví dụ 2:
Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x.\)

b) \(y=(x^2+1)(3-2x^2).\)

c) \(y=(x^2+3)^5.\)

Hướng dẫn giải:
a) \(y’ = \left( {\frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x} \right)’ = {x^2} – 4x + 3.\)

b) \(y’ = \left[ {({x^2} + 1)(3 – 2{x^2})} \right]’ = ({x^2} + 1)'(3 – 2{x^2}) + ({x^2} + 1)(3 – 2{x^2})’\)

\(= 2x(3 – 2{x^2}) – 4x({x^2} + 1) = – 8{x^3} + 2x.\)

c) \(y’ = \left[ {{{({x^2} + 3)}^5}} \right]’ = 5{({x^2} + 3)^4}({x^2} + 3)’ = 10x{({x^2} + 3)^4}.\)

Ví dụ 3:
Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{x}.\)

b) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}.\)

c) \(y = \frac{{ – {x^2} + 2x + 3}}{{{x^3} – 2}}.\)

Hướng dẫn giải:
a) \(y’ = \left( {\frac{1}{4}x + \frac{1}{x}} \right)’ = \left( {\frac{1}{4}x} \right)’ + \left( {\frac{1}{x}} \right)’ = \frac{1}{4} – \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} – 4}}{{4{x^2}}}.\)

b) \(y’ = \left( {\frac{{2x + 1}}{{x + 1}}} \right)’ = \frac{{(2x + 1)'(x + 1) – (2x + 1)(x + 1)’}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}.\)

c) \(y’ = \left( {\frac{{ – {x^2} + 2x + 3}}{{{x^3} – 2}}} \right)’ = \frac{{( – {x^2} + 2x + 3)'({x^3} – 2) – ( – {x^2} + 2x + 3)({x^3} – 2)’}}{{{{({x^3} – 2)}^2}}}\)

\(= \frac{{\left( { – 2x + 2} \right)({x^3} – 2) – 3{x^2}( – {x^2} + 2x + 3)}}{{{{({x^3} – 2)}^2}}} = \frac{{{x^4} – 4{x^3} – 9{x^2} + 4x – 4}}{{{{({x^3} – 2)}^2}}}.\)

Ví dụ 4:
Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{2}{x} + 5\sqrt x .\)

b) \(y = (x – 2)\sqrt {{x^2} + 1}\)

c) \(y = \frac{x}{{\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}\) với a là hằng số.

Hướng dẫn giải:
a) \(y’ = \left( {\frac{2}{x} + 5\sqrt x } \right)’ = \left( {\frac{2}{x}} \right)’ + \left( {5\sqrt x } \right)’ = – \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{5}{{2\sqrt x }} = \frac{{5x\sqrt x – 4}}{{2{x^2}}}.\)

b) \(y = \left[ {(x – 2)\sqrt {{x^2} + 1} } \right]’ = (x – 2)’\sqrt {{x^2} + 1} + (x – 2)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)’\)

\(= \sqrt {{x^2} + 1} + \left( {x – 2} \right)\frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)’}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} = \sqrt {{x^2} + 1} + \frac{{x(x – 2)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{2{x^2} – 2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)

c) \(y’ = \left( {\frac{x}{{\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}} \right)’ = \frac{{\left( x \right)’\sqrt {{a^2} – {x^2}} – x\left( {\sqrt {{a^2} – {x^2}} } \right)’}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} – {x^2}} } \right)}^2}}}\)

\(= \frac{{\sqrt {{a^2} – {x^2}} – x.\frac{{\left( {{a^2} – {x^2}} \right)’}}{{2\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} – {x^2}} } \right)}^2}}} = \frac{{\sqrt {{a^2} – {x^2}} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {{a^2} – {x^2}} } \right)}^2}}}\)

\(= \frac{{{a^2}}}{{\left( {{a^2} – {x^2}} \right)\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}.\)

Xem thêm bảng công thức đạo hàm cơ bản: Bảng công thức đạo hàm

Các quy tắc tính đạo hàm
5 (100%) 1 vote

BÌNH LUẬN

Please enter your comment!
Please enter your name here